所以(y1y2)＝16x1x2＝16，即y1y2＝－4(因为y1，y2异号)， 所以直线BD的方程为4(x＋1)＋(y1－y2)y＝0，恒过点(－1，0)。 考点二定值问题
【例2】 (2019·益阳、湘潭调研)已知动圆P经过点N(1,0)，并且与圆M：(x＋1)＋y＝16相切。
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)设G(m,0)为轨迹C内的一个动点，过点G且斜率为k的直线l交轨迹C于A，B两点，当k为何值时，ω＝|GA|＋|GB|是与m无关的定值？并求出该定值。
解 (1)由题意得|PM|＋|PN|＝4，所以点P的轨迹C是以M，N为焦点的椭圆， 所以2a＝4,2c＝2，所以b＝a－c＝3， 所以椭圆的方程为＋＝1。
43即点P的轨迹C的方程为＋＝1。
43
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(m,0)，由题意知－2 2 2 2 2 2 2 2 x2y2 x2y2 y＝k?x－m?，??22由?xy＋＝1，??43 2 得(3＋4k)x－8kmx＋4km－12＝0， 22 22222 8mk4mk－12所以x1＋x2＝2，x1x2＝， 2 4k＋34k＋3 |GA|＋|GB|＝(1＋k)(x1－m)＋(1＋k)(x2－m)＝(1＋k)[(x1＋x2)－2x1x2－2m(x1＋[－6m?4k－3?＋24?3＋4k?] x2)＋2m]＝(k＋1)·。 22 ?4k＋3? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 要使ω＝|GA|＋|GB|的值与m无关， 需使4k－3＝0， 解得k＝± 322 ，此时ω＝|GA|＋|GB|＝7。 2 求解圆锥曲线中定值问题的基本思路 1．从特殊元素入手，求出定值，再证明这个值与变量无关。 2．直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值。 2 22 ?1?2 【变式训练】 已知抛物线C：y＝ax(a>0)上一点P?t，?到焦点F的距离为2t。 ?2? (1)求抛物线C的方程； (2)抛物线C上一点A的纵坐标为1，过点Q(3，－1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A不重合)，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值。 a?1?解 (1)由抛物线的定义可知|PF|＝t＋＝2t，则a＝4t，由点P?t，?在抛物线上，得4?2?at＝， 1 4 a12 所以a×＝，则a＝1， 44 由a>0，得a＝1， 所以抛物线C的方程为y＝x。 (2)因为点A在抛物线C上，且yA＝1， 所以xA＝1。 所以A(1,1)，设过点Q(3，－1)的直线的方程为x－3＝m(y＋1)， 即x＝my＋m＋3， 代入y＝x得y－my－m－3＝0。 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则y1＋y2＝m，y1y2＝－m－3， 所以k1k2＝＝ 2 2 2 y1－1y2－1 · x1－1x2－1 y1y2－?y1＋y2?＋1 m2y1y2＋m?m＋2??y1＋y2?＋?m＋2?2 1＝－。 2 1 所以k1k2为定值，且定值为－。 2考点三探索性问题 【例3】 (2019·合肥质检)已知抛物线E：x＝2py(p>0)上一点P的纵坐标为4，且点 2 P到焦点F的距离为5。 (1)求抛物线E的方程； (2)如图，设斜率为k的两条平行直线l1，l2分别经过点F和H(0，－1)，l1与抛物线E交于A，B两点，l2与抛物线E交于C，D两点。问：是否存在实数k，使得四边形ABDC的面积为43＋4？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。 解 (1)由抛物线的定义知，点P到抛物线E的准线的距离为5。 因为抛物线E的准线方程为y＝－， 2所以4＋＝5，解得p＝2， 2所以抛物线E的方程为x＝4y。 (2)由已知得，直线l1：y＝kx＋1。 2 pp ??y＝kx＋1，由?2 ?x＝4y，? 2 消去y得x－4kx－4＝0， 222 2 Δ＝16(k＋1)>0恒成立，|AB|＝1＋k·16?k＋1?＝4(k＋1)。 ??y＝kx－1，直线l2：y＝kx－1，由?2 ?x＝4y，? 消去y得x－4kx＋4＝0， 2 由Δ＝16(k－1)>0得k>1， |CD|＝1＋k·16?k－1?＝4?k＋1??k－1?， 又直线l1，l2间的距离d＝2 2 2 2 2 22 k2＋1 ， 122 所以四边形ABDC的面积S＝·d·(|AB|＋|CD|)＝4(k＋1＋k－1)。 2解方程4(k＋1＋k－1)＝4(3＋1)，得k＝2(满足k>1)， 所以存在满足条件的k，且k的值为±2。 探索性问题的求解方法：先假设成立，在假设成立的前提下求出与已知、定理或公理相同的结论，说明结论成立，否则说明结论不成立。 2 2 2 2 x2y2 【变式训练】 (2019·湖南联考)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的一个焦点与上、下 ab顶点两两相连构成直角三角形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线x＋y－2＝0相切。 (1)求椭圆C的标准方程； (2)设过椭圆右焦点且不重合于x轴的动直线与椭圆C相交于A，B两点，探究在x轴上 →→ 是否存在定点E，使得EA·EB为定值？若存在，试求出定值和点E的坐标；若不存在，请说明理由。 b＝c， ??|0＋0－2| ，解 (1)由题意知，?a＝ 2 ??b＋c＝a， 2 2 2 2 ?a＝2， 解得?b＝1， ?c＝1， 2 则椭圆C的标准方程为＋y＝1。 2 (2)当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)， x2 2 x??＋y2＝1，联立?2 ??y＝k?x－1?， 2 2 得(1＋2k)x－4kx＋2k－2＝0，Δ＝8k＋8>0， 2 222 4k2k－2所以xA＋xB＝2，xAxB＝2。 1＋2k1＋2k→→ 假设在x轴上存在定点E(x0,0)，使得EA·EB为定值。 →→ 则EA·EB＝(xA－x0，yA)·(xB－x0，yB) ＝xAxB－x0(xA＋xB)＋x0＋yAyB ＝xAxB－x0(xA＋xB)＋x0＋k(xA－1)(xB－1) ＝(1＋k)xAxB－(x0＋k)(xA＋xB)＋x0＋k ?2x0－4x0＋1?k＋?x0－2?＝。 2 1＋2k→ 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 → 2 →→ 因为EA·EB为定值，所以EA·EB的值与k无关， 所以2x0－4x0＋1＝2(x0－2)， 57?5?解得x0＝，此时EA·EB＝－为定值，定点为?，0?。 416?4? 7?5?当直线的斜率不存在时，也满足EA·EB＝－为定值，且定点为?，0?。 16?4? →→ 57??综上，存在点E?，0?，使得EA·EB为定值，且定值为－。 16?4? 错误! →→ →→ x2y2 1．(配合例1、例2使用)已知直线l：x＝my＋1过椭圆C：2＋2＝1的右焦点F，抛物 ab线x＝43y的焦点为椭圆C的上顶点，且l交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线x＝4上的射影依次为D，K，E。 (1)求椭圆C的方程； → 定值； (3)当m变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由。 解 (1)因为l：x＝my＋1过椭圆C的右焦点F， 所以右焦点F(1,0)，c＝1，即c＝1。 因为x＝43y的焦点(0，3)为椭圆C的上顶点， 所以b＝3，即b＝3，a＝b＋c＝4， 所以椭圆C的方程为＋＝1。 43 ??x＝my＋1， (2)由题意知m≠0，由?22 ?3x＋4y－12＝0? 2 2 2 2 2 2 2 →→→ (2)若直线l交y轴于点M，且MA＝λ1AF，MB＝λ2BF，当m变化时，证明：λ1＋λ2为 x2y2 得(3m＋4)y＋6my－9＝0。 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 6m9 则y1＋y2＝－2，y1y2＝－2。 3m＋43m＋4 22