→→→
故2|FP|＝|FA|＋|FB|。
圆锥曲线中的证明问题常见的有：位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如等量关系、恒成立等。在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接证明法，但有时也会用到反证法。
【变式训练】 已知圆C：(x－1)＋y＝r(r>1)，设A为圆C与x轴负半轴的交点，过点A作圆C的弦AM，并使弦AM的中点恰好落在y轴上。
(1)求点M的轨迹E的方程；
(2)延长MC交曲线E于点N，曲线E在点N处的切线与直线AM交于点B，试判断以点B为圆心，线段BC长为半径的圆与直线MN的位置关系，并证明你的结论。
解 (1)设M(x，y)，由题意可知，A(1－r,0)，AM的中点D?0，?，x>0，
?2?
→
因为C(1,0)，所以DC＝?1，－?，DM＝?x，?。
2???2?
→
→
在⊙C中，因为CD⊥DM，所以DC·DM＝0， 所以x－＝0，即y＝4x(x>0)，
4所以点M的轨迹E的方程为y＝4x(x>0)。
2
2
2
2
?
y??
y?
→
?
y?y2
2
?y2?(2)设直线MN的方程为x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线BN的方程为y＝k?x－??4?
＋y2，
??x＝my＋1，?2??y＝4x2
?y－4my－4＝0，
2
可得y1＋y2＝4m，y1y2＝－4， 又r－1＝x1，则点A(－x1,0)， 2y1
所以直线AM的方程为y＝x＋。
y12
y2???y＝k?x－?4?＋y2，
?????y2＝4x2y2
程为y＝x＋。
y22
2yy＝x＋，??y2联立?2yy＝x＋??y2，
1
1
2
2
2
222
?ky－4y＋4y2－ky2＝0，由Δ＝0可得k＝，则直线BN的方
y2
y24my11－4可得xB＝－1，yB＝＝＝2m，
2y12y1
所以点B(－1,2m)，
|BC|＝4＋4m＝2m＋1，
|2＋2m|22所以点B到直线MN的距离d＝＝4m＋4＝2m＋1＝|BC|，
m2＋1所以⊙B与直线MN相切。
错误!
2
22
x2y2
(配合例1、例2使用)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2
ab为直径的圆与直线ax＋2by－3ab＝0相切。
(1)求椭圆C的离心率；
→
的最大值。
→
(2)如图，过F1作直线l与椭圆分别交于P，Q两点，若△PQF2的周长为42，求F2P·F2Q
|－3ab|解 (1)由题意知＝c，
a2＋4b2
即3ab＝c(a＋4b)＝(a－b)(a＋4b)。 化简得a＝2b，所以e＝
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2。 2
(2)因为△PQF2的周长为42，所以4a＝42，得a＝2，
由(1)知b＝1，所以椭圆C的方程为＋y＝1，且焦点F1(－1,0)，F2(1,0)，
2①若直线l的斜率不存在，则直线l⊥x轴，直线方程为x＝－1，P?－1，72?2?2????
Q?－1，－?，F2P＝?－2，?，F2Q＝?－2，－?，故F2P·F2Q＝。
22?2?2????
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，
??y＝k?x＋1?，
由?22
?x＋2y＝2，?
2
x2
2
?
?2??，2?
→→→→
2
2
2
2
消去y并整理得(2k＋1)x＋4kx＋2k－2＝0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
4k2k－2
则x1＋x2＝－2，x1x2＝2，
2k＋12k＋1
2
2
y1y2＝k2(x1＋1)(x2＋1)＝k2x1x2＋k2(x1＋x2)＋k2，
→
→
F2P·F2Q＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)
＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2
＝(k＋1)x1x2＋(k－1)(x1＋x2)＋k＋1
2
4k?2k－2?22
＝(k＋1)2＋(k－1)?－2?＋k＋1
2k＋1?2k＋1?
2
2
2
2
2
7k－179
＝2＝－， 2
2k＋122?2k＋1?7??2
由k>0可得F2P·F2Q∈?－1，?。
2??7??综上，F2P·F2Q∈?－1，?， 2??7
所以F2P·F2Q的最大值是。
2
第2课时 定点、定值、探索性问题
考点一定点问题
→
→→
→→
→
2
x2y2
【例1】 (2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)，四点P1(1,1)，P2(0,1)，
abP3?－1，
??3?3??
?，P4?1，?中恰有三点在椭圆C上。 2?2??
(1)求C的方程；
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点。
解 (1)由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P3，P4两点。 ＝1，??b1113
又由＋>＋知，C不经过点P，所以点P在C上。因此?aba4b13
＋??a4b＝1，
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
解
??a＝4，
得?2
?b＝1。?
2
故C的方程为＋y＝1。
4
x2
2
(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x＝t，
22
4－t??4－t??
由题设知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐标分别为?t，?，?t，－?。
2??2??
4－t－24－t＋2
则k1＋k2＝－＝－1，得t＝2，不符合题设。从而可设l：y＝kx2t2t＋m(m≠1)。
22
将y＝kx＋m代入＋y＝1，得(4k＋1)x＋8kmx＋4m－4＝0，由题设可知Δ＝16(4k4－m＋1)>0。
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
8km4m－4
则x1＋x2＝－2，x1x2＝2。
4k＋14k＋1而k1＋k2＝
2
2
x2
22222
y1－1y2－1kx1＋m－1kx2＋m－12kx1x2＋?m－1??x1＋x2?＋＝＋＝。 x1x2x1x2x1x2
2
4m－4
由题设知k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0。即(2k＋1)·2＋(m－
4k＋1－8kmm＋11)·2＝0，解得k＝－。
4k＋12
当且仅当m>－1时，Δ>0，于是l：y＝－过定点(2，－1)。
求解直线或圆锥曲线过定点问题的基本思路是：把直线或圆锥曲线方程中的变量x，y看成常数，把方程的一端化为零，将方程转化为以参数为主变量的方程，这个方程对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或圆锥曲线所过的定点。
【变式训练】 (2019·贵阳摸底)过抛物线C：y＝4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|＝8。
(1)求l的方程；
(2)若A关于x轴的对称点为D，求证：直线BD过定点，并求出该点的坐标。 解 (1)易知点F的坐标为(1,0)，则直线l的方程为y＝k(x－1)，代入抛物线方程y22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
m＋1m＋1
x＋m，即y＋1＝－(x－2)，所以l2
2
＝4x得kx－(2k＋4)x＋k＝0，由题意知k≠0，且[－(2k＋4)]－4k·k＝16(k＋1)>0，
2k＋4
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝2，x1x2＝1，
2
k由抛物线的定义知|AB|＝x1＋x2＋2＝8， 2k＋42
所以2＝6，所以k＝1，即k＝±1，
2
k所以直线l的方程为y＝±(x－1)。
(2)证明：由抛物线的对称性知，D点的坐标为(x1，－y1)，直线BD的斜率kBD＝
y2＋y1
＝x2－x1
y2＋y14
， 22＝y2y1y2－y1
4－4
所以直线BD的方程为y＋y1＝
2
4
(x－x1)， y2－y1
即(y2－y1)y＋y2y1－y1＝4x－4x1， 因为y1＝4x1，y2＝4x2，x1x2＝1，
2
2