【变式训练】 (1)设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)＋y＝1
259和(x－4)＋y＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为( )
A．9,12 B．8,11 C．8,12 D．10,12
12
(2)(2019·邢台模拟)已知椭圆＋y＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称。
22
2
2
x2y2
22
x2
①求实数m的取值范围；
②求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)。
(1)解析 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10，连接PA，PB分别与圆相交于两点M，N，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2R＝8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于两点M，N，此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2R＝12，即最小值和最大值分别为8,12。故选C。
答案 C
＋y＝1，??21
(2)解 ①由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b。由?m1
y＝－??mx＋b，
2
x2
?11?22b2
消去y，得?＋2?x－x＋b－1＝0。
m?2m?
1x422
因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b＋2＋2>0，
m2m(*)
2
mb?1m＋2?2mb将AB的中点M?2，2?代入直线方程y＝mx＋，解得b＝－2， (**)
22m?m＋2m＋2?
由(*)(**)得m<－
66
或m>。 33
22
1?6??6??3?2
②令t＝∈?－，0?∪?0，?，则t∈?0，?。
m?2?2?2???
则|AB|＝t＋1·
2
342
－2t＋2t＋2，
1t2＋
2
t2＋
且O到直线AB的距离为d＝设△AOB的面积为S(t)， 1
所以S(t)＝|AB|·d
2＝12
2?21?2
－2?t－?＋2≤，
2?2?
21
2
t＋1
。
1?3?22
当且仅当t＝时，等号成立，此时满足t∈?0，?。
2?2?故△AOB面积的最大值为考点二范围问题
【例2】 (2018·浙江高考)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：
2
。 2
y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上。
(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
(2)若P是半椭圆x＋＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围。
4
2
y2
?12??12?解 (1)设P(x0，y0)，A?y1，y1?，B?y2，y2?。 ?4??4?
因为PA，PB的中点在抛物线上， 12
y＋x04y＋y0?2?所以y1，y2为方程??＝4·2，
?2?即y－2y0y＋8x0－y0＝0的两个不同的实根， 所以y1＋y2＝2y0， 因此，PM垂直于y轴。
2
2
??y1＋y2＝2y0，
(2)由(1)可知?2
?y1y2＝8x0－y0，?
12232
所以|PM|＝(y1＋y2)－x0＝y0－3x0，
84|y1－y2|＝22?y0－4x0?。
13223
因此，△PAB的面积S△PAB＝|PM|·|y1－y2|＝(y0－4x0)。
242因为x＋＝1(x0<0)，
4
所以y0－4x0＝－4x0－4x0＋4∈[4,5]，
1510??
因此，△PAB面积的取值范围是?62，?。
4??
范围问题与最值问题方法类似，也是从几何法和代数法两种角度思考问题，但是范围问题比最值问题更为灵活。
2
2
2
0
2
y20
x2y23
【变式训练】 设O为坐标原点，已知椭圆C1：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，抛物
ab2
12
线C2：x＝－ay的准线方程为y＝。
2
(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程；
(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆C1交于不同的两点P，Q，若O在以线段PQ为直径的圆的外部，求直线l的斜率k的取值范围。
a12
解 (1)由题意得＝，所以a＝2，故抛物线C2的方程为x＝－2y。
42c3x22
又e＝＝，所以c＝3，所以b＝1，从而椭圆C1的方程为＋y＝1。
a24
(2)显然直线x＝0不满足题设条件，故可设直线l：y＝kx＋2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)。
x??＋y2＝1，由?4??y＝kx＋2，
2
2
得(1＋4k)x＋16kx＋12＝0。
2
22
因为Δ＝(16k)－4×12(1＋4k)>0， 所以k∈?－∞，－
?
?3??3??∪?，＋∞?。 2??2?
x1＋x2＝－16k122，x1x2＝2， 1＋4k1＋4k→
→
根据题意，得0°<∠POQ<90°，即OP·OQ>0，
→
→
2
所以OP·OQ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝(1＋k)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝
12?1＋k?－16k16－4k＋2k×＋4＝222>0，解得－2 1＋4k1＋4k1＋4k综上得k∈?－2，－考点三证明问题 【例3】 (2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两 43点，线段AB的中点为M(1，m)(m>0)。 1 (1)证明：k<－； 2 → 解 (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则＋＝1，＋＝1。 4343两式相减，并由由题设知 →→ → → → (2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP＋FA＋FB＝0。证明：2|FP|＝|FA|＋|FB|。 22 ? ?3??3??∪?，2?。 2??2? x2y2 x2y211x2y222 y1－y2x1＋x2y1＋y2＝k得＋·k＝0。 x1－x243 y1＋y2 2＝m， x1＋x2 2 ＝1， 3 于是k＝－。 4m31 由题设得0 22 (2)由题意得F(1,0)。设P(x3，y3)，则 (x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0,0)。 由(1)及题设得x3＝3－(x1＋x2)＝1， y3＝－(y1＋y2)＝－2m<0。 3 又点P在C上，所以m＝， 4→33??从而P?1，－?，|FP|＝。 2?2? → 于是|FA|＝?x1－1?＋y1＝ 2 2 x1?x1??x1－1?＋3?1－?＝2－。 2?4? 2 2 → 同理|FB|＝2－。 2 1 所以|FA|＋|FB|＝4－(x1＋x2)＝3。 2 → → x2