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＝，所以三棱锥D－AEF的体积V≤××2＝(当且仅当a＝b＝1时等号成立)． 2232614.(2018·湖北宜昌模拟)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝2BB1，E，F，M分别为A1C1，AB1，BC的中点． (1)求证：EF∥平面BB1C1C； (2)求证：EF⊥平面AB1M. 答案 (1)略 (2)略 证明 (1)连接A1B，BC1.
因为E，F分别为A1C1，AB1的中点， 所以F为A1B的中点．所以EF∥BC1. 因为BC1?平面BB1C1C，EF?平面BB1C1C， 所以EF∥平面BB1C1C.
(2)在矩形BCC1B1，BC＝2BB1， 所以tan∠CBC1＝
2
，tan∠B1MB＝2. 2
所以tan∠CBC1·tan∠B1MB＝1. π
所以∠CBC1＋∠B1MB＝.所以BC1⊥B1M.
2因为EF∥BC1，所以EF⊥B1M.
在正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC⊥平面BB1C1C. 因为M为BC的中点，AB＝AC，所以AM⊥BC. 因为平面ABC∩平面BB1C1C＝BC， 所以AM⊥平面BB1C1C.
因为BC1?平面BB1C1C，所以AM⊥BC1 因为EF∥BC1，所以EF⊥AM.
又因为AM∩B1M＝M，AM?平面AB1M，B1M?平面AB1M，所以EF⊥平面AB1M. 15．(2018·广东惠州模拟)如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝AD＝2EC＝2，N为线段PB的中点． (1)证明：NE⊥PD；
(2)求三棱锥E－PBC的体积． 2答案 (1)略 (2) 3
解析 (1)证明：连接AC，与BD交于点F，连接NF，则F为BD的中点． 1
∴NF∥PD，且NF＝PD. 2
5
1
又EC∥PD且EC＝PD，
2∴NF∥EC且NF＝EC.
∴四边形NFCE为平行四边形， ∴NE∥FC，即NE∥AC.
又∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD， ∴AC⊥PD.
∵NE∥AC，∴NE⊥PD.
(2)解：∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PDCE， ∴平面PDCE⊥平面ABCD.
∵BC⊥CD，平面PDCE∩平面ABCD＝CD，BC?平面ABCD， ∴BC⊥平面PDCE.
1112
∴三棱锥E－PBC的体积VE－PBC＝VB－PEC＝S△PEC·BC＝×(×1×2)×2＝. 3323
16．(2018·安徽马鞍山一模)如图①，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，BC∥AD，AD＝2AB＝4，BC＝3，E为AD的中点，EF⊥BC，垂足为F.沿EF将四边形ABFE折起，连接AD，AC，BC，得到如图②所示的六面体ABCDEF.若折起后AB的中点M到点D的距离为3.
(1)求证：平面ABFE⊥平面CDEF； (2)求六面体ABCDEF的体积． 8
答案 (1)略 (2) 3
解析 (1)如图，取EF的中点N，连接MN，DN，MD. 根据题意可知，四边形ABFE是边长为2的正方形， ∴MN⊥EF.
由题意，得DN＝DE＋EN＝5，MD＝3， ∴MN＋DN＝2＋(5)＝9＝MD， ∴MN⊥DN，∵EF∩DN＝N， ∴MN⊥平面CDEF.
又MN?平面ABFE，∴平面ABFE⊥平面CDEF. (2)连接CE，则V六面体ABCDEF＝V四棱锥C－ABFE＋V三棱锥A－CDE.
6
2222222
由(1)的结论及CF⊥EF，AE⊥EF得， CF⊥平面ABFE，AE⊥平面CDEF， 14
∴V四棱锥C－ABFE＝·S正方形ABFE·CF＝，
3314
V三棱锥A－CDE＝·S△CDE·AE＝，
33448
∴V六面体ABCDEF＝＋＝.
333
17.(2018·潍坊质检)直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2. (1)求证：AC⊥平面BB1C1C；
(2)在A1B1上是否存在一点P，使得DP与平面BCB1和平面ACB1都平行？证明你的结论． 答案 (1)略
(2)P为A1B1的中点时，DP与平面BCB1和平面ACB1都平行．
解析 (1)∵直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC. 又∵∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2， ∴AC＝2，∠CAB＝45°.
∴BC＝2.∵BC＋AC＝AB，∴BC⊥AC. 又BB1∩BC＝B，BB1?平面BB1C1C， BC?平面BB1C1C，∴AC⊥平面BB1C1C. (2)存在点P，P为A1B1的中点．
1由P为A1B1的中点，有PB1∥AB，且PB1＝AB.
21
又∵DC∥AB，DC＝AB，
2∴DC∥PB1，且DC＝PB1.
∴DCB1P为平行四边形，从而CB1∥DP. 又CB1?平面ACB1，DP?平面ACB1， ∴DP∥平面ACB1.同理，DP∥平面BCB1.
1．(2017·温州模拟)正方体ABCD－A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于( ) A．A′C′ C．A′D′ 答案 B
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222
B．BD D．AA′
解析 连接B′D′，
∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′， 且A′C′∩CC′＝C′， ∴B′D′⊥平面CC′E. 而CE?平面CC′E， ∴B′D′⊥CE.
又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE.
2．(2018·四川成都检测)如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC上(端点除外)一动点，现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABCF.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足，设AK＝t，则t的取值范围是( )
1
A．(，2)
2C．(
3
，2) 2
1
B．(，1)
2D．(3
，1) 2
答案 B
解析 当点F与点E无限接近时，不妨令二者重合，可得t＝1， 当点C与点F无限接近时，不妨令二者重合，此时有CD＝2， ∵CB⊥AB，CB⊥DK，
∴CB⊥平面ADB，即有CB⊥BD，
对于CD＝2，BC＝1，在直角三角形CBD中，得BD＝3， 又AD＝1，AB＝2，由勾股定理可得∠BDA是直角，∴AD⊥BD. 1
由DK⊥AB，可得△ADB∽△AKD，可得t＝，
21
∴t的取值范围是(，1)，故选B.
2
3.如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．
(1)求证：MN⊥CD；
(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD. 答案 (1)略 (2)略
证明 (1)连接AC，∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥AC，在Rt△PAC中，N为PC中点．
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