层级快练(五十一)

1．(2018·广东清远一中月考)已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，给出下列命题：①α⊥β?l∥m；②α∥β?l⊥m；③l⊥m?α∥β；④l∥m?α⊥β，其中正确命题的序号是( )

A．①②③ C．①③ 答案 D

解析 ①中l与m可能相交、平行或异面；②中结论正确；③中两平面α，β可能平行，也可能相交；④中结论正确．

2．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分不必要条件是( ) A．a⊥c，b⊥c C．a⊥α，b∥α 答案 C

解析 对于C，在平面α内存在c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B中，直线a，b可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D中一定推出a∥b.

3．(2018·江西南昌模拟)如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在平面ABC内的射影H必在( )

B．α⊥β，a?α，b?β D．a⊥α，b⊥α B．②③④ D．②④

A．直线AB上 C．直线AC上 答案 A

解析 由AB⊥AC，BD⊥AC，又AB∩BD＝B，则AC⊥平面ABD，而AC?平面ABC，则平面ABC⊥平面ABD，因此D在平面ABC内的射影H必在平面ABC与平面ABD的交线AB上，故选A. 4．设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a?α，b?β，且α⊥β”的平面α，β( ) A．不存在 C．有且只有两对 答案 D

解析 过直线a的平面α有无数个，当平面α与直线b平行时，两直线的公垂线与b确定

B．有且只有一对 D．有无数对 B．直线BC上 D．△ABC内部

的平面β与α垂直，当平面α与b相交时，过交点作平面α的垂线，此垂线与b确定的平面β与α垂直．故选D.

5．(2018·保定模拟)如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是( ) A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDE⊥平面ABC 答案 D

解析 因BC∥DF，DF?平面PDF，BC?平面PDF，所以BC∥平面PDF，A成立；易证BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以结论B，C均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不成立．

6.已知直线PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系中不正确的是( ) A．PA⊥BC C．AC⊥PB 答案 C

解析 AB为直径，C为圆上异于A，B的一点，所以AC⊥BC.因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.因为PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，从而PC⊥BC.故选C.

7.如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是( ) A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BCD

C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE 答案 C

解析 因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.

8.(2017·沧州七校联考)如图所示，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC.则下列结论不正确的是( ) A．CD∥平面PAF C．CF∥平面PAB 答案 D

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B．BC⊥平面PAC D．PC⊥BC

B．DF⊥平面PAF D．CF⊥平面PAD

解析 A中，∵CD∥AF，AF?面PAF，CD?面PAF，∴CD∥平面PAF成立；B中，∵ABCDEF为正六边形，∴DF⊥AF.又∵PA⊥面ABCDEF，∴DF⊥平面PAF成立；C中，CF∥AB，AB?平面PAB，CF?平面PAB，∴CF∥平面PAB；而D中CF与AD不垂直，故选D.

9．(2018·重庆秀山高级中学期中)如图，点E为矩形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列说法中正确的有( ) ①存在点E使得直线SA⊥平面SBC；②平面SBC内存在直线与SA平行；③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行；④存在点E使得SE⊥BA.

A．1个 C．3个 答案 A

解析 ①若直线SA⊥平面SBC，则SA⊥SC，又SA⊥SE，SE∩SC＝S，∴SA⊥平面SEC，又平面SEC∩平面SBC＝SC，∴点S，E，B，C共面，与已知矛盾，故①错误；②∵平面SBC∩直线SA＝S，故平面SBC内的直线与SA相交或异面，故②错误；③在平面ABCD内作CF∥AE，交AB于点F，由线面平行的判定定理，可得CF∥平面SAE，故③正确；④若SE⊥BA，过点S作SF⊥AE于点F，∵平面SAE⊥平面ABCE，平面SAE∩平面ABCE＝AE，∴SF⊥平面ABCE，∴SF⊥AB，又SF∩SE＝S，∴AB⊥平面SEC，∴AB⊥AE，与∠BAE是锐角矛盾，故④错误． 10．(2016·课标全国Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β； ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n； ③如果α∥β，m?α，那么m∥β；

④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等． 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)． 答案 ②③④

解析 对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：

B．2个 D．4个

如图，不妨设AA′为直线m，CD为直线n，ABCD所在的平面为α，ABC′D′所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但α⊥β不成立．

命题②正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面α相交于直线l，则l∥n，由m⊥α

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知m⊥l，从而m⊥n，结论正确． 由平面与平面平行的定义知命题③正确． 由平行的传递性及线面角的定义知命题④正确．

11.(2017·泉州模拟)点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列命题：

①三棱锥A－D1PC的体积不变； ②A1P∥平面ACD1； ③DB⊥BC1；

④平面PDB1⊥平面ACD1.

其中正确的命题序号是________． 答案 ①②④

解析 对于①，VA－D1PC＝VP－AD1C点P到面AD1C的距离，即为线BC1与面AD1C的距离，为定值故①正确，对于②，因为面A1C1B∥面AD1C，所以线A1P∥面AD1C，故②正确，对于③，DB与BC1就成60°角，故③错．对于④，由于B1D⊥面ACD1，所以面B1DP⊥面ACD1，故④正确．

12．(2018·山西太原一模)已知在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB＝2AD＝2CD＝2，将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥D－ABC，当三棱锥D－ABC的体积取最大值时，其外接球的体积为________． 4答案 π

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解析 当平面DAC⊥平面ABC时，三棱锥D－ABC的体积取最大值．此时易知BC⊥平面DAC，∴BC⊥AD，又AD⊥DC，∴AD⊥平面BCD，∴AD⊥BD，取AB的中点O，易得OA＝OB＝OC＝OD443

＝1，故O为所求外接球的球心，故半径r＝1，体积V＝πr＝π.

3313．(2018·辽宁大连双基测试)如图所示，∠ACB＝90°，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于E，AF⊥DC交DC于F，且AD＝AB＝2，则三棱锥D－AEF体积的最大值为________． 答案

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解析 因为DA⊥平面ABC，所以DA⊥BC，又BC⊥AC，DA∩AC＝A，所以BC⊥平面ADC，所以BC⊥AF，又AF⊥CD，BC∩CD＝C，所以AF⊥平面DCB，所以AF⊥EF，AF⊥DB，又DB⊥AE，AE∩AF＝A，所以DB⊥平面AEF，所以DE为三棱锥D－AEF的高．因为AE为等腰直角三角形11a＋b1

ABD斜边上的高，所以AE＝2，设AF＝a，FE＝b，则△AEF的面积S＝ab≤·＝×

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