?2x?xlnx(x?0)?12．已知函数f(x)??23有且仅有四个不同的点关于直线y?1的对称
?x?x(x?0)?2?点在直线kx?y?1?0上，则实数k的取值范围为( )
?1?A．?,1?
?3?【答案】C
?13?B．?,?
?34??1?C．?,1?
?2??1?D．?,2?
?2?【解析】将问题转化为y?f?x?与直线y?kx?1的图象，在???,0?，?0,???上各有2各交点，借助函数图象与导数的几何意义求出直线y?kx?1与y?f?x?的两段图象相切时的斜率，即可得到k的范围. 【详解】
?2x?xlnx(x?0)?因为函数f(x)??23有且仅有四个不同的点关于直线y?1的对称点在
?x?x(x?0)?2?直线kx?y?1?0的图象上，
而直线kx?y?1?0关于直线y?1的对称图象为?kx?y?1?0，
?2x?xlnx(x?0)?所以函数f(x)??23的图象与?kx?y?1?0的图象有且仅有四个不
?x?x(x?0)?2?同的交点.
当x?0时，f??x??1?lnx，
所以当0?x?e时，f??x??0，当x?e时，f??x??0， 所以f?x?在?0,e?上递增，在?e,???上递减， 当x?0时，f?x???x?23x 2作出y?f?x?与直线?kx?y?1?0的图象， 如图所示：
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设直线y?kx?1与y?2x?xlnx相切于点C(x,2x?xlnx)，
?1?lnx?k则?，
2x?xlnx?kx?1?解得x?1，故k?1， 设直线y?kx?1与y??x?23?3?2x相切与点B?x,?x?x?，
2?2?3??2x??k??2则?，
3??x2?x?kx?1?2?解得x??1，所以k?1， 2因为函数y?f(x)与?kx?y?1?0的图象有且仅有四个不同的交点 所以函数y?f(x)与y?kx?1的图象在???,0?，?0,???上各有2各交点. 故
1?k?1， 2故选：C. 【点睛】
本题主要考查函数与方程，导数与函数的图象，导数的几何意义，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.
二、填空题
13．若复数z满足(1?i)z?1?7i，则|z|?_____. 【答案】5
【解析】先根据复数z满足(1?i)z?1?7i，利用复数的除法转化为z?a?bi的形式，
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再求模. 【详解】
因为复数z满足(1?i)z?1?7i， 所以z?1?7i?1?7i?(1?i)???3?4i， 1?i?1?i?(1?i)所以|z|???3????4?22?5.
故答案为：5 【点睛】
本题主要考查复数的运算和复数模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
x2y214．双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左焦点为F(?2,0)，点A(0,5)，点P为双曲线
ab右支上的动点，且VAPF周长的最小值为8，则双曲线的离心率为______. 【答案】2
【解析】设双曲线的右焦点为F??2,0?，根据VAPF的周长为l?AF?PF?AP，结合双曲线的定义，转化为l?3?2a?PF??AP，当A,P,F?三点共线时，周长l取得最小值求解. 【详解】
设双曲线的右焦点为F??2,0?，又AF?3，
所以VAPF的周长为l?AF?PF?AP?3?PF?AP， 由双曲线的定义得PF?PF??2a，即PF?2a?PF?， 即l?3?2a?PF??AP，
当A,P,F?三点共线时，周长l取得最小值. 此时，PF??AP?AF??3， 所以3?2a?3?8， 解得a?1，所以e?故答案为：2 【点睛】
本题主要考查双曲线的定义以及几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 15．A,B,C为单位圆上三个不同的点，若?ABC?c?2. a?4uuuruuuruuur，OB?mOA?nOC(m,n?R)，
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则m?n最小值为_____. 【答案】?2 【解析】由?ABC??4，根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，得到?AOC??2，设
???A?1,0?,C?0,1?,B?cos?,sin??,???,2??，再根据
?2?uuuruuuruuurOB?mOA?nOC(m,n?R)，建立m?n关于?的函数求解.
【详解】
因为A,B,C为单位圆上三个不同的点，且?ABC?所以?AOC??4，
?2，
不妨设A?1,0?,C?0,1?,B?cos?,sin??,??????,2??， ?2?uuuruuuruuur因为OB?mOA?nOC(m,n?R)，
所以cos??m,sin??n， 所以m?n?cos??sin??当且仅当?????2sin??????2，
4??5?时，取等号. 4所以m?n最小值为?2. 故答案为：?2 【点睛】
本题主要考查平面向量与三角恒等变换以及三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
16．在下图所示的三角形数阵中，用ai,j?i?j?表示第i行第j个数（i,j?N*），已知
ai,1?ai,i?1?1（i?N*），且当i?3时，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上2i?1的两个数之和，即ai,j?ai?1,j?1?ai?1,j（2?j?i?1)，若am,2?100，则正整数m的最小值为__________．
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