习题2
2-1 有一质量为m，长为l的细弦以F的张力张紧，试问： (1) 当弦作自由振动时其基频为多少？
(2) 设弦中点位置基频的位移振幅是B，求基频振动的总能量。 (3) 距细弦一端l4处的速度振幅为多少？ 解：（1）简正频率fn?12lT12n2lTmlT?，且线密度??ml
?基频f1???。
16T?0l?22（2）基频振动的总能量E1??16TBl?22。
?（3）弦的位移的总和形式?(t,x)???(t,x)?t??Bn?1nsinknxcos(?nt??n)
速度表达式为v(t,x)???(?Bn?1n?nsinknx)sin(?nt??n)
??距一端0.25m处的速度振幅Vax?l4??n?1?Bn?2??n2lT?sin(n?l?l4)
??n?1n?Bnn?sinml4T
? Vax?3l4??n?1Bn?2??n2lTn?3lsin(?)?l43n?4
???n?1n?BnTmlsin
2-2 长为l的弦两端固定，在距一端为x0处拉开弦以产生?0的静位移，然后释放。 （1）求解弦的振动位移；
（2）以x0?l3为例，比较前三个振动方式的能量。 解：弦的振动位移形式为：
??(t,x)??sinn?1knx(Cncos?nt?Dnsin?nt)
n?cl其中kn?n?l，?n?，Cn?Bncos?n，Dn?Bnsin?n
??0x??x（1）由初始条件可得：?(t?0)??0?0?(l?x)?l?x0?v(t?0)?(???t)t?0?0(0?x?l)
(0?x?x0)
(x0?x?l)2l?C???0(x)sinknxdx??nl0又?2lv0(x)sinknxdx?Dn??0?l?n?
2?x0?则Cn???0xsinknxdx?l?0x0?lx02?2?0ln?(l?x)sinknxdx??22sinx0 l?x0l?n?x0(l?x0)?0 Dn?0 则sin?n?0 Bn?Cn
??n?n?
?(t,x)??Cn?1nsin2?l2?xcos(?nt??n)??nn?12?0l222?x0(l?x0)sinn?lx0sin2?xlcosn?clt
（2）En?1n?c?4l22B?2nn?T4l22Bn
2当x0?l时，Bn?Cn?32?0ln?222l3(l?l3sin)n?l?l3?9?0n?22sinn?3
则E1?2?T9?04l(?2sin?3)?2243T?016?l22
E2?243T?064?l22
E3?0
2-3 长为l的弦两端固定，在初始时刻以速度v0敲击弦的中点，试求解弦的振动位移。 解：弦的振动位移表达式为
??(t,x)??sinn?1knx(Cncos?nt?Dnsin?nt)
?可得速度表达式为
v(t,x)???(t,x)?t???sinn?1knx(??nCnsin?nt??nDncos?nt)
由题可得初始条件：
?2v????0?lx,0?x?l?t?0?0；2?tt?0??2v2v l 00?lx,2?x?l通过傅立叶变换可得：
Cn?0；
D4v0kln?kl3?3(?sinkl?2sinn2)。
??位移表达式为?(t,x)??Dnsinknxsin?nt
n?1其中D4v0n?kl3?3(?sinkl?2sinkln2)。
2-4 长为l的弦两端固定，在初始时刻以速度v0敲击弦的中心，试证明外力传给 能等于弦作自由振动时所有振动方式振动能的总和。
??(t?0)?0解：初始条件???l??x?2
???v??t0t?0?弦的总位移为?(t,x)??sinknx(Cncos?nt?Dnsin?nt),
n?1其中Cnπcn?Bncos?n,Dn?Bnsin?n，（?n?l,knn??c）
又D2n?l??lsink22v0lnxdx＝
l?0sinknxdx＝
2(1?cosn?)0v0(x)
nn?l0vn2?cCn?0
当n为偶数时，D2?D4?D6???0 当n为奇数时，D4v0l14v0l1??2c，D4v0l3?19?2c，D5?25?2c，?
故Bn?Dn，?n?0
??2又弦振动时的总能量为E??En??(Tn2π2B2)＝
4Tv0l1nn?1n?14l?2c2(1?19?25??)
4Tv2222 ＝0l?TvlTv0l?1?2c2(8)＝02c2＝2T＝2v20(l?)
弦的初动 ＝mv02＝Ek （c2?201T?）
外力传给弦的初始动能为Ek＝mv02
0122-5 设有一根弦，一端固定而另一端延伸到无限远(即认为没有反射波回来)，假设在离固定端距离
l处，施加一垂直于弦的力F?Faej?t，试求在x?l力作用点的左、右两方弦上的位移表达式。
提示：在弦的力作用点处，应有连接条件：
?1??2和T??1?x?T??2?x?F。
2-6 有长为l，线密度为?的弦。其一端经一无摩擦的滑轮悬挂一重物M，已知弦所受的张力T，如图所示。试求
（1） 该弦作自由振动时的频率方程；
（2） 假设此重物M比弦的总质量大很多时，求该弦的基频近似值。
图 2－6
解：（1）由题意可知其初始条件和边界
??x?0?0?2条件为??????M??Tx?l2?x?t?
x?l弦
?(t,x)?(Acosucx?Bsinucx)cos(ut??)（其中u??n?2πfn）
ucxcos(ut??)
的振动位移为
当?x?0?0时，得A?0则?(t,x)?Bsin?? 带入边界条件可得： ?TBucucu??Businxsinut(??)
c?t2???t2u2??Businxcosut(??)c?Buucosxcosut(??) cc2
???xcosuclcos(ut??)??MBusinuclcos(ut??)
即 tanl?
ucltanucTMcul?
ul?TlMc2TMcuc??lM?MMS
（其中c? 令r?ucl，??MMST?, 弦的质量为Ms，线密度为?）
，则rtanr??，这就是弦作自由振动时的频率方程。