∴tan∠BCF＝tan∠DCE＝， ∴∴∴

， ，

，

在Rt△ECF中，EF＝∴BE＝EF+BF＝14，

CF＝12，

∵∠AEB＝∠AEC﹣∠BEC＝90°﹣45°＝45°， ∴∠TBE＝∠TEB， ∴TB＝TE＝∴∴∴

∵M为AE的中点， ∴OM⊥AE， 在Rt△OME中，OM＝

＝3

．

，

， ＝

， ，

4．解：（1）连接OB，OC，如图所示：

∵OE＝DE， ∴OB＝2OE， ∴

，

∴∠OBC＝30°， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝30°， ∴∠BOC＝120°，

∴∠BAC＝60°．

（2）证明：连接OA，过O做OM⊥AB，垂足为M，连接AD，如图所示：

∵∠BAC＝60°．∠AGB＝90°， ∴∠ABG＝30°， ∴

，

∵OM⊥AB， ∴

，

∴AM＝AG， ∵D为弧中点， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴OD⊥BC， ∴OD∥AF，

∴∠ODA＝∠OAD＝∠FAD， ∴∠OAM＝∠HAG， ∴△OAM≌△HAG（AAS）， ∴AH＝AO＝OD． ∴AH＝OD；

（3）连接DA，DB，DC，DH，延长AC至N，使AN＝AB，连接DN．如图所示：

由（2）可知，DO＝DH，

∵∠BAD＝∠NAD， ∴△ABD≌△AND（SAS）， ∴DN＝DB＝DC＝DO＝DH． ∴△OBD为等边三角形， ∴∠OBD＝∠ODB＝60°，

设∠HBF＝α，则∠CAF＝α，∠DAF＝30°﹣α， ∴∠ODH＝60°﹣2α，

∵四边形ABDC内接于⊙O，∠DCN＝DBA＝∠N＝60°+α， ∴∠CDN＝60°﹣2α＝∠ODH， ∴△DOH≌△DCN（SAS）， ∴OH＝CN， ∴AC+OH＝AB． 设OH＝2a， ∵AC＝4OH， ∴AC＝8a，AB＝10a，

∵∠AGB＝90°，∠ABG＝30°， ∴AG＝5a，CG＝3a， ∴BG＝∴BC＝∴

，

＝5＝2

a， a，

∵△OBD为等边三角形， ∴

，

＝

由勾股定理得：GH＝∴

，

a，

∵cos∠HBF＝cos∠HAG， ∴

＝

， ×BH＝

×4

∴BF＝a＝a，

又∵EF＝3，

∴解得∴GH＝

×，

＝

，

． ．

∴线段GH的长为

5．解：（1）如图1，连接OA、OB、OC，延长OC交AB于点G，

在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝2， ∵OA＝OB，AC＝BC， ∴OC垂直平分AB， ∴AG＝AB＝1，

∴在Rt△AGC中，由勾股定理得：CG＝在Rt△AGO中，由勾股定理得：OG＝∴OC＝2

﹣

；

＝＝

＝＝2

， ，

如图2，延长CO交EF于点H，

当CO⊥EF时，点C到直线EF的距离最大，最大距离为CH的长，

∵OE＝OF，CO⊥EF， ∴CO平分∠EOF， ∵∠EOF＝120°， ∴∠EOH＝∠EOF＝60°， 在Rt△EOH中，cos∠EOH＝

，