数学解题思维策略
数学解题能力是衡量学生数学能力高低的一个重要指标,当前高考的能力立意命题也说明高中数学教学要更多的关注学生的数学能力。而思维是解题的第一步。
数学思维的变通性——根据题设的相关知识,提出灵活设想和解题方案。
在一题多解的训练中,我们要密切注意每种解法的特点,善于发现解题规律,从中发现最有意义的简捷解法。 数学思维的开拓性主要体现在: (1)一题的多种解法 (2)一题的多种解释
数学问题千变万化,要想既快又准的解题,总用一套固定的方案是行不通的,必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识,提出灵活的设想和解题方案。 (1)善于观察
例.若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=4-2则2a+b+c的最小值为 【分析】看到给定的条件,感觉应该使用均值不等式求最小值,但变形过程受阻,得不到待求的结构。
【点拨】由a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=4-2得:a2+ab+ac+bc=4-2。 a2+ab+ac+bc=(4a2+4ab+4ac+2bc+2bc) ≤(4a2+4ab+4ac+2bc+b2+c2) =(2a+b+c)2
∴(2-2)2≤(2a+b+c)2,则(2a+b+c)≥2-2。 或者由a(a+b+c)+bc=4-2得(a+c)(a+b)=4-2。
又a,b,c>0且(2a+b+c)2≥0,∴(a+c)(a+b)=()2当且仅当b=c时取等号。
∴2a+b+c≥2=2(-1)。解题的关键是发现已知条件和待证结论的变形的具体方向,发现两者之间的关系。
心理学告诉我们:感觉和知觉是认识事物的最初级形式,而观察则是知觉的高级状态,是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。观察是认识事物最基本的途径,它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。
任何一道数学题,都包含一定的数学条件和关系。要想解决它,就必须依据题目的具体特征,对题目进行深入的、细致的、透彻的观察,然后认真思考,透过表面现象看其本质,这样才能确定解题思路,找到解题方法。 (2)善于联想
例.已知函数f(x)=,那么f(1)+f(2)+f()+f()+f(4)+f()= 。 【分析】由于设定的问题较简单,可以直接分别求值,再求和;但问题是,如果待求的和式较复杂怎么办?
【点拨】联想数列的求和方法,不难发现该式隐藏的秘密所在:f(x)+f()=1。 【答案】。
联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系,都
是不明显的、间接的、复杂的。因此,解题的方法怎样、速度如何,取决于能否由观察到的特征,灵活运用有关知识,做出相应的联想,将问题打开缺口,不断深入。 (3)善于将问题进行转化
例.已知p:x+y≠-2;q:x、y不都是-1,p是q的什么条件? 【分析】要考虑p是q的什么条件,就是判断“若p则q”及“若q则p”的真假性。
【点拨】从正面很难判断是,我们从它们的逆否命题来判断其真假性。
【答案】“若p则q”的逆否命题是“若x、y都是-1,则x+y=-2”真的,“若q则p”的逆否命题是“若x+y=-2,则x、y都是-1”假的,归纳拓展:当一个命题很难判断其真假性时,我们可以从其逆否命题来着手。
【答案】p是q的充分不必要条件。
数学家g波利亚在《怎样解题》中说过:数学解题是命题的连续变换。可见,解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么怎样转化呢?概括地讲,就是把复杂问题转化成简单问题,把抽象问题转化成具体问题,把未知问题转化成已知问题。在解题时,观察具体特征,联想有关问题之后,就要寻求转化关系。
思维变通性的对立面是思维的保守性,即思维定势。思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后,往往会用同样的思
维方法解决以后的问题。它的表现就是记类型、记方法、套公式,使思维受到限制,它是提高思维变通性的极大的障碍,必须加以克服。
综上所述,善于观察、善于联想、善于进行问题转化,是数学思维变通性的具体体现。要想提高思维变通性,必须作相应的思维训练。 数学思维的反思性——提出独特见解,检查思维过程,不盲从、不轻信。
受思维定势或别人提示的影响,解题时盲目附和,不能提出自己的看法,这不利于增强思维的反思性。因此,在解决问题时,应积极地独立思考,敢于对题目解法发表自己的见解,这样才能增强思维的反思性,从而培养创造性思维。
数学思维的严密性——考查问题严格、准确,运算和推理精确无误。
在中学数学中,思维的严密性表现为思维过程服从于严格的逻辑规则,考查问题时严格、准确,进行运算和推理时精确无误。数学是一门具有高度抽象性和精密逻辑性的科学,论证的严密性是数学的根本特点之一。但是,由于认知水平和心里特征等因素的影响,中学生的思维过程常常出现不严密现象,主要表现在以下几个方面: 概念模糊:概念是数学理论体系中十分重要的组成部分。它是构成判断、推理的要素。因此必须弄清概念,搞清概念的内涵和外延,为判断和推理奠定基础。概念不清就容易陷入思维混乱,产生错误。 判断错误:判断是对思维对象的性质、关系、状态、存在等情况
有所断定的一种思维形式。数学中的判断通常称为命题。在数学中,如果概念不清,很容易导致判断错误。
推理错误:推理是运用已知判断推导出新的判断的思维形式。它是判断和判断的联合。任何一个论证都是由推理来实现的,推理出错,说明思维不严密。
数学思维的开拓性——对一个问题从多方面考虑、对一个对象从多种角度观察、对一个题目运用多种不同的解法。
考试大纲:在知识要求中,增加了知识相关背景的认识,要求学生学习数学知识的同时,应了解知识的背景。
数学思维开拓性指的是对一个问题能从多方面考虑;对一个对象能从多种角度观察;对一个题目能想出多种不同的解法,即一题多解。
“数学是一个有机的整体,它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分支时,注意了横向联系,把亲缘关系结成一张网,就可覆盖全部内容,使之融会贯通”,这里所说的横向联系,主要是靠一题多解来完成的。通过用不同的方法解决同一道数学题,既可以开拓解题思路,巩固所学知识;又可激发学习数学的兴趣和积极性,达到开发潜能,发展智力,提高能力的目的。从而培养创新精神和创造能力。
作者单位:江苏省石庄高级中学