2019人教版精品教学资料·高中选修数学

1．3．1二项式定理

教学目标：

知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式 过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题

情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。 教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 授课类型：新授课 课时安排：3课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：

二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．

通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．

二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础．通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点．

二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法．

在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习． 教学过程：

一、复习引入：

⑴(a?b)?a?2ab?b?C2a?C2ab?C2b；

3322303122233⑵(a?b)?a?3ab?3ab?b?C3a?C3ab?C3ab?C3b 22202122⑶(a?b)?(a?b)(a?b)(a?b)(a?b)的各项都是4次式， 即展开式应有下面形式的各项：a，ab，ab，ab，b，

4322344a的系数是C4；展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即C4种，

恰有1个取b的情况有C4种，ab的系数是C4，恰有2个取b的情况有C4种，ab的系数是C4，恰有3个取b的情况有C4种，ab的系数是C4，有4都取b的情况有C4种，b231040312223344的系数是C4，

∴(a?b)?C4a?C4ab?C4ab?C4ab?C4b． 二、讲解新课：

n0n1n二项式定理：(a?b)?Cna?Cnab?rn?rr?Cnab?nn?Cnb(n?N?)

4404132223344⑴(a?b)的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：

nan，anb，…，an?rbr，…，bn，

⑵展开式各项的系数：

每个都不取b的情况有1种，即Cn种，a的系数是Cn； 恰有1个取b的情况有Cn种，ab的系数是Cn，……， 恰有r个取b的情况有Cn种，anr10n0n1n?rbr的系数是Cnr，……，

n有n都取b的情况有Cn种，b的系数是Cn，

n0n1n∴(a?b)?Cna?Cnab?rn?rr?Cnab?nn?Cnb(n?N?)，

n这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a?b)的二项展开式，⑶它有n?1r项，各项的系数Cn(r?0,1,nn)叫二项式系数，

⑷Cnarn?rrn?rrab． br叫二项展开式的通项，用Tr?1表示，即通项Tr?1?Cnrr?Cnx?n1⑸二项式定理中，设a?1,b?x，则(1?x)?1?Cnx??xn 三、讲解范例：

例1．展开(1?)．

113解一： (1?)4?1?C4()?C4()2?C4()3?()4?1?1x41x1x1x1x1x4641???． xx2x3x4413123?解二：(1?)4?()4(x?1)4?()4?x?Cx?Cx?C444x?1? ?xxx111?1?4641?2?3?4． xxxx16)． x例2．展开(2x?解：(2x?161)?3(2x?1)6

xx112321[(2x)6?C6(2x)5?C6(2x)4?C6(2x)3?C6(2x)2?C6(2x)?1] 3x60121?64x3?192x2?240x?160??2?3．

xxx?例3．求(x?a)的展开式中的倒数第4项 12解：(x?a)的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，

912?99339T9?1?C12xa?C12xa?220x3a9．

12例4．求（1）(2a?3b)，（2）(3b?2a)的展开式中的第3项．

24242解：（1）T2?1?C6(2a)(3b)?2160ab， 24242 （2）T2?1?C6(3b)(2a)?4860ba．

66点评：(2a?3b)，(3b?2a)的展开后结果相同，但展开式中的第r项不相同 66例5．（1）求(?x339)的展开式常数项； x（2）求(?x339)的展开式的中间两项 x39?rx9?r3rr2r?9)?C9?3x2， 解：∵Tr?1?C()(3xr9∴（1）当9?（2）(?3r?0,r?6时展开式是常数项，即常数项为T7?C96?33?2268； 2x339)的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项， xT5?C?3498?9x9?129?425?310?9x2?378x3 ?3，T6?C9x15例6．（1）求(1?2x)的展开式的第4项的系数； （2）求(x?)的展开式中x的系数及二项式系数 71x933337解：(1?2x)的展开式的第四项是T3?1?C7(2x)?280x，

∴(1?2x)的展开式的第四项的系数是280．

7（2）∵(x?)的展开式的通项是Tr?1?C9x19x∴9?2r?3，r?3，

r9?r1(?)r?(?1)rC9rx9?2r， x33333∴x的系数(?1)C9??84，x的二项式系数C9?84．

例7．求(x?3x?4)的展开式中x的系数 24分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开 解：（法一）(x?3x?4)?[(x?3x)?4]

01234?C4(x2?3x)4?C4(x2?3x)3?4?C4(x2?3x)2?42?C4(x2?3x)?43?C4?44，

2424显然，上式中只有第四项中含x的项，

∴展开式中含x的项的系数是?C4?3?4??768

（法二）：(x?3x?4)?[(x?1)(x?4)]?(x?1)(x?4)

0413223404132234?(C4x?C4x?C4x?C4x?C4)(C4x?C4x?4?C4x?42?C4x?43?C4?44)

33244443∴展开式中含x的项的系数是?C44?C44??768．

*例8．已知f(x)??1?2x???1?4x? (m,n?N)的展开式中含x项的系数为36，

433mn求展开式中含x项的系数最小值 2分析：展开式中含x项的系数是关于m,n的关系式，由展开式中含x项的系数为36，可得2m?4n?36，从而转化为关于m或n的二次函数求解 2解：?1?2x???1?4x?展开式中含x的项为

1111Cm?2x?Cn?4x?(2Cm?4Cn)x 11∴(2Cm?4Cn)?36，即m?2n?18，

mn?1?2x?m??1?4x?展开式中含x2的项的系数为

n22222?Cn4?2m2?2m?8n2?8n， t?Cm∵m?2n?18， ∴m?18?2n，

2∴t?2(18?2n)?2(18?2n)?8n?8n?16n?148n?612

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