当采样频率不为信号频率的整数倍时，均值，峰值，有效值均有变化，但变化不大

4．被测信号叠加噪声后，再进行测量和分析误差。改变噪声的大小（即标准偏差），记录测得的信号有效值、均值、峰值。 噪声为2时：

噪声为20时：

加入噪声后，噪声越大，误差越大，均值，有效值，峰值均有明显变化

六、思考题

1．采样时，对采样频率有什么要求？

答：采样频率至少要大于信号频率的两倍 才能不失真地输出信号波形。 2．本实验的计算结果表明测量误差与采样频率和采样点有什么关系？

答：采样频率越大，采样点越多，测量误差越小，因为减小了混叠误差。增加采样点数的显示，则可以更大范围覆盖所测量的电平值。。

3．被测信号叠加噪声引入的误差，对峰值和有效值那个影响大？为什么？

答：对峰值影响大，对有效值影响小。噪声对峰值是直接的叠加，而有效值的计算方式大大消弱了噪声信号的影响。。

实验3 频谱分析仿真实验

一、实验目的：

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1．了解离散傅立叶变换理论； 2．熟悉典型信号的波形和频谱特征。

3．编程实现DFT变换，对信号进行频谱分析。 4．学会使用LabVIEW提供的频谱分析函数。 二、实验内容：

1．设计DFT变换程序，求取仿真信号的幅值频谱和相位谱。 2．使用LabVIEW提供的频谱分析函数，分析仿真信号的频谱。

3．分析正弦、方波、三角波、锯齿波信号的频谱，并与理论计算值比较。 4．被测信号叠加噪声后，再进行测量和分析误差。 三、实验器材：

安装有LabVIEW软件的计算机1台 四、实验原理：

1．非正弦周期函数的傅立叶分解 (1)．定义

如果给定的周期函数f(t)满足狄里赫利条件（函数在任意有限区间内，具有有限个极值点与不连续点），则该周期函数定可展开为一个收敛的正弦函数级数，如下式：

f(t)?a0??A0??(ak?1??kcosk?t?bksink?t)cos(k?t??k) 其中，上式中的各个系数的计算公式为：

1T1Ta0??0f(t)dt??2Tf(t)dtTT?2 T为信号的周期。

2T2T12?1?ak??0f(t)cos(k?t)dt??2Tf(t)cos(k?t)dt??0f(t)cos(k?t)d(?t)????f(t)cos(k?t)d(?t)TT?2??k?1?Akm2bk?T?0T2f(t)sin(k?t)dt?T?T2T?2f(t)sin(k?t)dt?12?1?f(t)sin(k?t)d(?t)???f(t)sin(k?t)d(?t)?0???在该展开式中，A0称为周期函数f(t)的恒定分量，也称为直流分量；与原周期函数的周期相同的正弦分量

A1mcos(?t??1)称为一次谐波，也称为基波分量。其他各项称为高次谐波（如2次谐波、3次谐波等等） (2)．几种常用周期信号的傅立叶展开 方波

f(t)?4A1112?(sin?t?sin3?t?sin5?t?sin7?t??)???357T ，其中的

三角波

f(t)?8A1112?(sin?t?sin3?t?sin5?t?cos7?t??)???292549T ，其中的AA1112??(sin?t?sin2?t?sin3?t?sin4?t??)??2?234T ，其中

锯齿波

f(t)?2．频谱

(1).非正弦周期函数的频谱

对某函数以频率为横轴，各个频率对应的正弦函数的幅值为纵轴所绘出的线段系称为该函数的频谱。 对于周期函数而言，其频谱为一系列谱线。如 方波

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f(t) A t 0.5T -A TAkm 4A/? 4A/3? 4A/5? 4A/7? ? 3? 5? 7? ?

图4 矩形波的傅立叶频谱 三角波

f(t) A t T -A Akm 8A/?2

8A/25?2 ? 3? 5? 7? ? 8A/9?2

图5 三角波的傅立叶频谱 锯齿波

Akm A/2 A/? f(t) A t T 2T 3T A/2? A/3? A/4?

O ? 2? 3? 4? ? 图6 锯齿波的傅立叶频谱 (3). 傅立叶变换与频谱函数

1)．周期函数的傅立叶级数的指数形式

ejk?t?e?jk?tejk?t?e?jk?tf(t)?a0??(akcosk?t?bksink?t)?a0??[ak()?bk()]22jk?1k?1??(ak?jbk)ejk?t??(ak?jbk)ejk?t?a0????22k?1k??1?j?k???tak?jbk1f(t)?cekck?ck?k???2T令，且对所有k?0，均有c0?a0，则，其中

??

?f(t)e0T?jk?tdt，c0?a0

2)．幅度频谱与相位频谱

体现|ck|与频率之间的关系的谱线，称为幅度频谱。

由于指数级数中的k可以分别取相应的正负值，因此幅度频谱关于Y轴对称；而其谱线的高度仅为付氏频谱谱线高度的一半。例如方波

f(t) A t 0.5T -A T Akm 4A/? 4A/3? 4A/5? 4A/7? ? 3? 5? 7? ? 图7(a) 方波的傅立叶频谱 |ck| 2A/?2A/? 2A/3?? 2A/3? 2A/5? 2A/7? 2A/72A/5? ? ? ? 3? 5? 7? ? ? ? 图7 方波及其傅立叶频谱、幅度谱 3．信号的离散傅立叶变换（DFT）

模拟信号x(t)经采样后变为离散时间序列x(n)，TS为采样周期，采样频率fs=1/TS。计算机中的处理的信号是有限长度的离散信号x(n)，对应的离散频谱为X(k)。时域与频域转换使用的算法是离散傅里叶变换（DFT）和反变换（IDFT），计算公式如下：

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2?N?1?jnk?NX(k)?x(n)e???n?0?2?N?1jnkk?0,1,2...N,?1?x(n)?1Nx(k)e??Nn?0,?1 DFT和IDFT： ? n?0,1,2...N为了方便显示，做归一化处理，用

X(k)N来表示频谱。此外，由上式计算出的频谱为峰值频谱，对周期

信号而言，谱线的高度仅为付氏频谱谱线高度的一半。

快速傅里叶变换FFT的原理与DFT相同，只是DFT在计算机中实现的快速方法。FFT运算要求点数N为2的整数次幂(如N=210=1024)时，计算速度最快。 FFT的基本特性

输出频谱的复数值X(k)，同时包含幅度、相位信息。若X(k)?Re(k)?jIm(k)，则幅度谱为

X(k)?Re(k)?Im(k)22?(k)?arctan，相位谱为Im(k)Re(k)。计算出的频谱为峰值频谱，对周期信号而言，谱线的

X(k)RMS?X(k)2。

高度仅为付氏频谱谱线高度的一半。当用有效值（RMS）表示幅值频谱时，各节点之间的频率间隔由时间长度N和采样频率fs决定：第k个节点对应的频率值为

f(k)?k?fsN。

?f?fsN。

FFT形成的频谱相对于折叠频率fS /2对称，FFT的输出频率范围为0～fS/2。实际只有一半数据有意义。 用DFT进行测试信号频域特性分析存在主要误差有量化误差、混叠误差、频谱泄漏和栅栏效应等，减少计算误差的办法有，增加A/D的有效位数，提高采样频率，增加采样时间和采样点数，整周期采样或加窗处理等。

4．在LabVIEW中的频谱分析VI

在LabVIEW中实现频谱分析计算的3个层次的VI分别为Express Ⅵ中的Spectral Measurements.vi 波形VI中的FFT Spectrum (Mag-Phase).viAmplitude and Phase Spectrum.vi。

（1）Express Ⅵ中的Spectral Measurements.vi到达途径为Functions?Signal Analysis，主要参数有：①选择不同的谱分析种类(Spectral Measurement)：峰值频谱，均方值(RMS)频谱，功率谱和功率谱密度。②幅度单位：线性还是分贝dB。③窗函数Window的类型。④平均Averaging参数：有平均模式Mode、平均权重 Weighting、平均次数Numbers of averages和平均输出类型Produce spectrum。⑤相位谱输出的变换：反卷及将弧度转换为度。

（2）波形VI中的FFT Spectrum(Mag-Phase).vi的参数设置及定义与Spectral Measurements．vi的相似，其输入输出端口如下所示。

和FFT Spectrum (Real-Im).vi

，

，基本函数VI的

五、实验步骤：

1．设计DFT变换程序，求取仿真信号的幅值频谱和相位谱。（要求仅采用基本数学函数实现）。

2?N?1?jnkk?0,1,2...,N?1X(k)??x(n)eNn?0实验要求：DFT计算公式为：其中n?0,1,2...,N?1，采用双循环，先固定k，内循环

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