5 [解析] 由已知及双曲线的概念知，a＝2，b＝1，故c＝22＋12＝5， 2
c5故该双曲线的离心率e＝＝. a2
x2y2
6．[2014·天津卷] 已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x
ab
＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( )
x2y2x2y2
A.－＝1 B.－＝1 520205223x3y3x23y2
C.－＝1 D.－＝1 2510010025
bx2y222
6．A [解析] ∵＝2，0＝－2c＋10，∴c＝5，a＝5，b＝20，∴双曲线的方程为－a520
＝1.
H7 抛物线及其几何性质 10．[2014·四川卷] 已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的→→
两侧，OA·OB＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )
172
A．2 B．3 C. D.10
8
1?→→222，0.设A(y210．B [解析] 由题意可知，F?，y)，B(y，y)，∴OA·OB＝yy＋y1122121y2＝?4?
2，
解得y1y2＝1或y1y2＝－2.又因为A，B两点位于x轴两侧，所以y1y2＜0，即y1y2＝－2.
y1－y2122
当y2(x－y22(x－y1)＝ 1≠y2时，AB所在直线方程为y－y1＝21)， y1－y2y1＋y2令y＝0，得x＝－y1y2＝2，即直线AB过定点C(2，0)．
11111
于是S△ABO＋S△AFO＝S△ACO＋S△BCO＋S△AFO＝×2|y1|＋×2|y2|＋×|y1|＝(9|y1|＋8|y2|)
22248
12≥×29|y1|×8|y2|＝3，当且仅当9|y1|＝8|y2|且y1y2＝－2时，等号成立．当y21＝y2时，取y1
8
1
＝2，y2＝－2，则AB所在直线的方程为x＝2，此时求得S△ABO＋S△AFO＝2××2×2＋
2
11172172××2＝.而>3，故选B. 2488
11.
1
3．[2014·安徽卷] 抛物线y＝x2的准线方程是( )
4A．y＝－1 B．y＝－2 C．x＝－1 D．x＝－2
1
3．A [解析] 因为抛物线y＝x2的标准方程为x2＝4y，所以其准线方程为y＝－1.
421．[2014·福建卷] 已知曲线Γ上的点到点F(0，1)的距离比它到直线y＝－3的距离小2.
(1)求曲线Γ的方程．
(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y＝3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．
21．解：方法一：(1)设S(x，y)为曲线Γ上任意一点．
依题意，点S到点F(0，1)的距离与它到直线y＝－1的距离相等， 所以曲线Γ是以点F(0，1)为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线， 所以曲线Γ的方程为x2＝4y.
(2)当点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变．证明如下： 1
由(1)知抛物线Γ的方程为y＝x2.
41
设P(x0，y0)(x0≠0)，则y0＝x2，
40
11
由y′＝x，得切线l的斜率k＝y′|x＝x0＝x0，
22
111所以切线l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x2.
224011??y＝2x0x－4x20，1?由?得A??2x0，0?.
??y＝0，11??y＝2x0x－4x20，16
x0＋，3?. 由?得M?x0??2
??y＝3，13
x0＋，3?， 又N(0，3)，所以圆心C?x?4?
0
131
x0＋?， 半径r＝|MN|＝?x0??42|AB|＝|AC|2－r2 ＝
?1x0－?1x0＋3??＋32－?1x0＋3? x0???4x0??4?2
22＝6.
所以点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变． 方法二：(1)设S(x，y)为曲线Γ上任意一点，
则|y－(－3)|－（x－0）2＋（y－1）2＝2.
依题意，点S(x，y)只能在直线y＝－3的上方，所以y＞－3，
所以（x－0）2＋（y－1）2＝y＋1， 化简得，曲线Γ的方程为x2＝4y. (2)同方法一． 11．、[2014·广东卷] 曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．
11．5x＋y＋2＝0 [解析] ∵y′＝－5ex，∴所求切线斜是k＝－5e0＝－5，∴切线方程是y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.
22．、、[2014·湖北卷] 在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴
的距离多1.记点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．
22．解：(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|＝|x|＋1， 即（x－1）2＋y2＝|x|＋1， 化简整理得y2＝2(|x|＋x)．
??4x，x≥0，2
故点M的轨迹C的方程为y＝?
??0，x<0.
(2)在点M的轨迹C中，
记C1：y2＝4x(x≥0)，C2：y＝0(x<0)．
依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．
??y－1＝k（x＋2），
由方程组?2
??y＝4x，
可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①
当k＝0时，y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，
1得x＝. 4
1?
故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点??4，1?. 当k≠0时，方程①的判别式 Δ＝－16(2k2＋k－1)．②
2k＋1
设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.③
k
??Δ<0，1(i)若?由②③解得k<－1或k>.
2??x0<0，
1
，＋∞?时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故即当k∈(－∞，－1)∪??2?
此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．
??Δ>0，?Δ＝0，?1??1?(ii)若或?由②③解得k∈?－12?或－≤k<0.
2???x0<0?x0≥0，??
1??
即当k∈?－1，2?时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．
??1
－，0?时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点． 当k∈??2?
11??
－，0?∪?－1，?时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点． 故当k∈?2??2????Δ>0，11(iii)若?由②③解得－1 22?x0<0，? 11 －1，－?∪?0，?时，直线l与C1有一个公共点，与C2有一个公共点，故即当k∈?2??2?? 此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点． 1 ，＋∞?∪{0}时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；综上所述，当k∈(－∞，－1)∪? ?2? 11?1? －，0?∪?－1，?时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k∈?－1，－?当k∈?2?2??2???1 0，?时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点． ∪??2?14．、[2014·湖南卷] 平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________． 14．(－∞，－1)∪(1，＋∞) [解析] 依题意可知机器人运行的轨迹方程为y2＝4x.设直 ??y＝k（x＋1）， 线l：y＝k(x＋1)，联立?2消去y得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，由Δ＝(2k2－4)2 ?y＝4x，? 42 －4k＜0，得k＞1，解得k＜－1或k＞1. 20．[2014·江西卷] 如图1-2所示，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0，2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)． (1)证明：动点D在定直线上． (2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2.证明：|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值． 图1-2 20．解：(1)依题意可设AB的方程为y＝kx＋2，代入x2＝4y，得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8. y1 直线AO的方程为y＝x，BD的方程为x＝x2， x1 y1x2?x2，解得交点D的坐标为?x1?. ? y1x1x2－8y1注意到x1x2＝－8及x2＝4y，则有y＝＝＝－2， 11 x24y11 因此D点在定直线y＝－2上(x≠0)． (2)依题意，切线l的斜率存在且不等于0. 设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y得x2＝4(ax＋b)，即x2－4ax－4b＝0. 由Δ＝0得(4a)2＋16b＝0，化简整理得b＝－a2. 故切线l的方程可写为y＝ax－a2. 22 ＋a，2?，N2?－＋a，－2?， 分别令y＝2，y＝－2，得N1，N2的坐标为N1??a??a? 2 2?2222?2??则|MN2|－|MN1|＝?a－a?＋4－?a＋a?＝8， 即|MN2|2－|MN1|2为定值8. 8． [2014·辽宁卷] 已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( ) 4 A．－ B．－1 331C．－ D．－ 42 8．C [解析] 因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝ －pp －，且点A(－2，3)在准线上，故＝－2，解得p＝4，所以y2＝8x，所以焦点F的22 3－03 坐标为(2，0)，这时直线AF的斜率kAF＝＝－. 4－2－2 22．、、[2014·全国卷] 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线y＝4与 y轴的交