3410，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为. 25

(1)求椭圆C的方程．

(2)过原点的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不是椭圆C的顶点)．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．

(i)设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；

(ii)求△OMN面积的最大值．

a2－b23

21．解：(1)由题意知，＝，可得a2＝4b2.

a2椭圆C的方程可简化为x2＋4y2＝a2. 将y＝x代入可得x＝±因此2×5a. 5

25a410＝，即a＝2，所以b＝1， 55

x22

所以椭圆C的方程为＋y＝1.

4

(2)(i)设A(x1，y1)(x1y1≠0)，D(x2，y2)，则B(－x1，－y1)． y1因为直线AB的斜率kAB＝，且AB⊥AD，

x1x1所以直线AD的斜率k＝－.

y1设直线AD的方程为y＝kx＋m， 由题意知k≠0，m≠0.

y＝kx＋m，??2由?x消去y，得(1＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－4＝0， 2

??4＋y＝1，8mk所以x1＋x2＝－，

1＋4k2因此y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝由题意知x1≠－x2， y1＋y21y1所以k1＝＝－＝. 4k4x1x1＋x2所以直线BD的方程为y＋y1＝

y1(x＋x1)． 4x12m

. 1＋4k2令y＝0，得x＝3x1，即M(3x1，0)． y1可得k2＝－. 2x1

11

所以k1＝－k2，即λ＝－.

22

1

因此，存在常数λ＝－使得结论成立．

2

y1(ii)直线BD的方程y＋y1＝(x＋x1)，

4x133

0，－y1?. 令x＝0，得y＝－y1，即N?4??4由(i)知M(3x1，0)，

13

所以△OMN的面积S＝×3|x1|×|y1|＝

249

|x||y|. 811

2x1|x1|2

因为|x1||y1|≤＋y2＝|y1|＝时，等号成立， 1＝1，当且仅当422

9此时S取得最大值，

89

所以△OMN面积的最大值为.

8

x2y21

20．、[2014·陕西卷] 已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)经过点(0，3)，离心率为，左、右

ab2焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)．

(1)求椭圆的方程；

1

(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，

2|AB|53

且满足＝，求直线l的方程．

|CD|4

图1-5

b＝3，

?a＝2，??c1?

20．解： (1)由题设知?＝，解得?b＝3，

a2

?

??b＝a－c，?c＝1，

2

2

2

x2y2

∴椭圆的方程为＋＝1.

43

(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，

2|m|

∴圆心(0，0)到直线l的距离d＝. 5由d<1，得|m|<

5

，(*) 2

421－m2＝5－4m2. 55

∴|CD|＝21－d2＝2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，