41?
(1)若点C的坐标为??3，3?，且BF2＝2，求椭圆的方程； (2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．
图1-5
17．解： 设椭圆的焦距为2c, 则 F1(－c, 0), F2(c, 0)．
(1)因为B(0, b), 所以BF2＝b2＋c2＝a.又BF2＝2， 故a＝2. 1619941?，在椭圆上，所以2＋2＝1，解得b2＝1. 因为点C??33?abx22
故所求椭圆的方程为＋y＝1.
2
xy
(2)因为B(0, b), F2(c, 0)在直线 AB 上，所以直线 AB 的方程为 ＋＝1.
cb
?????x＝0，
?解方程组?得?
xyb（c－a）??y＝b，?a＋b＝1，??y＝a＋c，22
2
2
2
2
221
22xy
＋＝1，cb
2a2cx1＝22，a＋c
?2acb（c－a）?.
所以点 A 的坐标为?22，a2＋c2??a＋c?
?2acb（a－c）?.
又AC 垂直于x 轴， 由椭圆的对称性，可得点 C 的坐标为?22，?a2＋c2??a＋c
b（a2－c2）
－0
a2＋c2b（a2－c2）b
因为直线 F1C的斜率为2＝23，直线AB的斜率为－，且F1C2acc3ac＋c
22－（－c）a＋cb（a2－c2）?b?2222221⊥AB，所以23·－＝－1.又b＝a－c，整理得a＝5c，故e＝， ?c?53ac＋c
5
. 5
20．[2014·江西卷] 如图1-2所示，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0，2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)．
(1)证明：动点D在定直线上．
(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2.证明：|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值．
因此e＝
2
2
2
222
图1-2 20．解：(1)依题意可设AB的方程为y＝kx＋2，代入x2＝4y，得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8.
y1直线AO的方程为y＝x，BD的方程为x＝x2，
x1
y1x2?x2，解得交点D的坐标为?x1?. ?
y1x1x2－8y1注意到x1x2＝－8及x2＝＝－2， 1＝4y1，则有y＝x24y11因此D点在定直线y＝－2上(x≠0)． (2)依题意，切线l的斜率存在且不等于0.
设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y得x2＝4(ax＋b)，即x2－4ax－4b＝0. 由Δ＝0得(4a)2＋16b＝0，化简整理得b＝－a2. 故切线l的方程可写为y＝ax－a2.
22
＋a，2?，N2?－＋a，－2?， 分别令y＝2，y＝－2，得N1，N2的坐标为N1??a??a?
22
2?2
－a＋42－?＋a?＝8， 则|MN2|2－|MN1|2＝??a??a?
即|MN2|2－|MN1|2为定值8.
x2y2
15．[2014·辽宁卷] 已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的
94
焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________．
15．12 [解析] 设MN的中点为G，则点G在椭圆C上，设点M关于C的焦点F1的
11
对称点为A，点M关于C的焦点F2的对称点为B，则有|GF1|＝·|AN|，|GF2|＝|BN|，所
22
以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12.
20．、、[2014·辽宁卷] 圆x2＋y2＝4的切线与x轴正半轴、y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图1-5所示)．
图1-5 (1)求点P的坐标；
(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y＝x＋3交于A，B两点，若△PAB的面积为2，求C的标准方程．
x020．解：(1)设切点坐标为(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)，则切线斜率为－，切线方程为y－y0
y0
4x0，0?，＝－(x－x0)，即x0x＋y0y＝4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为??x0?y0
2?0，4?，其围成的三角形的面积S＝1·4·4＝8.由x2
0＋y0＝4≥2x0y0知当且仅当x0＝y0
?y0?2x0y0x0y0
＝2时x0y0有最大值，即S有最小值，因此点P的坐标为(2，2)．
x2y22
(2)设C的标准方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)．由点P在C上知2aba
22xy??2＋2＝1，2ab＋2＝1，并由?得b2x2＋43x＋6－2b2＝0.
b
??y＝x＋3，
43
x1＋x2＝－2，b
又x1，x2是方程的根，所以
6－2b2
x1x2＝2.b
由y1＝x1＋3，y2＝x2＋3，得
48－24b2＋8b44 6
|AB|＝|x1－x2|＝2·. 3b23134 6由点P到直线l的距离为及S△PAB＝×|AB|＝2，得|AB|＝，即b4－9b2＋18
2322
＝0，
x2y222222
解得b＝6或3，因此b＝6，a＝3(舍)或b＝3，a＝6，从而所求C的方程为＋＝
63
1.
22．、、[2014·全国卷] 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线y＝4与 y轴的交
?
??
5
点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.
4
(1)求C的方程；
(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．
8
22．解：(1)设Q(x0，4)，代入y2＝2px，得x0＝，
p8pp8
所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.
p22p
p858
由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2，
2p4p
所以C的方程为y2＝4x.
(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)． 代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4. 故线段AB的中点为D(2m2＋1，2m)， |AB|＝m2＋1|y1－y2|＝4(m2＋1)．
1
又直线l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3.
m4
将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋ y－4(2m2＋3)＝0.
m4
设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．
m
22?2
2＋2m＋3，－故线段MN的中点为E?m?， ?m|MN|＝4（m2＋1）2m2＋111＋2|y3－y4|＝. mm21
由于线段MN垂直平分线段AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，
2从而
11
|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，即 4422
2m＋?＋?2＋2?＝ 4(m＋1)＋?m??m??
2
2
2
2
4（m2＋1）2（2m2＋1）
，
m4化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.
所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
x2y2
20．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设F1，F2分别是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，
abM是C上一点且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N.
3
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
4
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b. b
c，?，2b2＝3ac. 20．解：(1)根据c＝a－b及题设知M??a?222
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac， c1c
解得＝，＝－2(舍去)．
a2a1
故C的离心率为.
2
(2)由题意知，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，b2
2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.①
a
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|. 设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则
3???2（－c－x1）＝c，?x1＝－2c，
?即? ?－2y1＝2，???y1＝－1.9c21
代入C的方程，得2＋2＝1.②
4ab
9（a2－4a）1
将①及c＝a－b代入②得＋＝1，
4a24a
22解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝27.
x2y2
21．，，[2014·山东卷] 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为
ab