2x08
＝＋2＋4 (0＜x20≤4)． 2x0
x28022因为＋2≥4(0＜x20≤4)，当x0＝4时等号成立，所以|AB|≥8. 2x0
故线段AB长度的最小值为22.
21．[2014·福建卷] 已知曲线Γ上的点到点F(0，1)的距离比它到直线y＝－3的距离小2.
(1)求曲线Γ的方程．
(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y＝3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．
21．解：方法一：(1)设S(x，y)为曲线Γ上任意一点．
依题意，点S到点F(0，1)的距离与它到直线y＝－1的距离相等， 所以曲线Γ是以点F(0，1)为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线， 所以曲线Γ的方程为x2＝4y.
(2)当点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变．证明如下： 1
由(1)知抛物线Γ的方程为y＝x2.
41
设P(x0，y0)(x0≠0)，则y0＝x2，
40
11
由y′＝x，得切线l的斜率k＝y′|x＝x0＝x0，
22
111所以切线l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x2.
224011??y＝2x0x－4x20，1?由?得A??2x0，0?.
??y＝0，11??y＝2x0x－4x20，16
x0＋，3?. 由?得M?x0??2
??y＝3，13
x0＋，3?， 又N(0，3)，所以圆心C?x?4?
0
131
x0＋?， 半径r＝|MN|＝?x0??42|AB|＝|AC|2－r2
＝
?1x0－?1x0＋3??＋32－?1x0＋3?
x0???4x0??4?2
22＝6.
所以点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变． 方法二：(1)设S(x，y)为曲线Γ上任意一点，
则|y－(－3)|－（x－0）2＋（y－1）2＝2.
依题意，点S(x，y)只能在直线y＝－3的上方，所以y＞－3，
所以（x－0）2＋（y－1）2＝y＋1， 化简得，曲线Γ的方程为x2＝4y. (2)同方法一． 22．、[2014·浙江卷] 已知△ABP的三个顶点都在抛物线C：x2＝4y上，F为抛物线C的→
焦点，点M为AB的中点，PF＝3FM.
图1-6
(1)若|PF|＝3，求点M的坐标； (2)求△ABP面积的最大值．
22．解：(1)由题意知焦点F(0，1)，准线方程为y＝－1.
设P(x0，y0)，由抛物线定义知|PF|＝y0＋1，得到y0＝2，所以P(22，2)或P(－22，2)．
222??22，2?. 由PF＝3FM，分别得M?－，或M?33??33?(2)设直线AB的方程为y＝kx＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)．
??y＝kx＋m，
由?2得x2－4kx－4m＝0， ?x＝4y?
于是Δ＝16k2＋16m>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m， 所以AB中点M的坐标为(2k，2k2＋m)． →→由PF＝3FM，
得(－x0，1－y0)＝3(2k，2k2＋m－1)，
??x0＝－6k，所以? 2
?y0＝4－6k－3m，?
142
由x2＝4y得k＝－m＋. 00
51514
由Δ>0，k2≥0，得－ 又因为|AB|＝41＋k2k2＋m，点F(0，1)到直线AB的距离为d＝所以S△ABP＝4S△ABF＝8|m－1|k2＋m＝14－ 1 m1＝，m2＝1. 9 16 3m3－5m2＋m＋1. 15 |m－1| ， 1＋k21114 －，?上是增函数，在?，1?上是减函数，在?1，?上是增函数． 可得f(m)在??39??9??3?1?256?4?又f??9?＝243>f?3?. 1256所以，当m＝时，f(m)取到最大值， 9243此时k＝±55. 15 2565 所以，△ABP面积的最大值为. 135 x2y25 20．、[2014·广东卷] 已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的一个焦点为(5，0)，离心率为. ab3(1)求椭圆C的标准方程； (2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程． 8．、[2014·湖北卷] 设a，b是关于t的方程t2cos θ＋tsin θ＝0的两个不等实根，则 x2y222 过A(a，a)，B(b，b)两点的直线与双曲线2－2＝1的公共点的个数为( ) cosθsinθ A．0 B．1 C．2 D．3 8．A [解析] 由方程t2cos θ＋tsin θ＝0，解得t1＝0，t2＝－tan θ，不妨设点A(0， x2 0)，B(－tan θ，tanθ)，则过这两点的直线方程为y＝－xtan θ，该直线恰是双曲线2cosθ 2 y2 －2＝1的一条渐近线，所以该直线与双曲线无公共点．故选A sinθ 22．、、[2014·湖北卷] 在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C. (1)求轨迹C的方程； (2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围． 22．解：(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|＝|x|＋1， 即（x－1）2＋y2＝|x|＋1， 化简整理得y2＝2(|x|＋x)． ??4x，x≥0，2 故点M的轨迹C的方程为y＝? ?0，x<0.? (2)在点M的轨迹C中， 记C1：y2＝4x(x≥0)，C2：y＝0(x<0)． 依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)． ??y－1＝k（x＋2）， 由方程组?2 ?y＝4x，? 可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.① 当k＝0时，y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程， 1得x＝. 41? 故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点??4，1?. 当k≠0时，方程①的判别式 Δ＝－16(2k2＋k－1)．② 2k＋1 设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.③ k ??Δ<0，1(i)若?由②③解得k<－1或k>. 2??x0<0， 1 ，＋∞?时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故即当k∈(－∞，－1)∪??2? 此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点． ?Δ>0，??Δ＝0，?1??1 (ii)若?或?由②③解得k∈?－12?或－≤k<0. 2?????x0<0?x0≥0， 1?? 即当k∈?－1，2?时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点． ??1 －，0?时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点． 当k∈??2? 11?? －，0?∪?－1，?时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点． 故当k∈?2??2???Δ>0，?11(iii)若?由②③解得－1 22??x0<0， 11 －1，－?∪?0，?时，直线l与C1有一个公共点，与C2有一个公共点，故即当k∈?2??2?? 此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点． 1?综上所述，当k∈(－∞，－1)∪? ?2，＋∞?∪{0}时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点； 11?1? －，0?∪?－1，?时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k∈?－1，－?当k∈?2?2??2???1 0，?时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点． ∪??2?14．、[2014·湖南卷] 平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________． 14．(－∞，－1)∪(1，＋∞) [解析] 依题意可知机器人运行的轨迹方程为y2＝4x.设直 ?y＝k（x＋1），? 线l：y＝k(x＋1)，联立?2消去y得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，由Δ＝(2k2－4)2 ??y＝4x， －4k4＜0，得k2＞1，解得k＜－1或k＞1. x2 17．、[2014·江苏卷] 如图1-5所示，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆2＋ay2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点Ab2作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.