11．（2018?舟山）如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45°．求证：矩形ABCD是正方形．

【分析】先判断出AE=AF，∠AEF=∠AFE=60°，进而求出∠AFD=∠AEB=75°，进而判断出△AEB≌△AFD，即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠D=∠C=90°， ∵△AEF是等边三角形， ∴AE=AF，∠AEF=∠AFE=60°， ∵∠CEF=45°， ∴∠CFE=∠CEF=45°，

∴∠AFD=∠AEB=180°﹣45°﹣60°=75°， ∴△AEB≌△AFD（AAS）， ∴AB=AD，

∴矩形ABCD是正方形．

【点评】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，判断出∠AFD=∠AEB是解本题的关键．

12．（2018?福建）如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F．求证：OE=OF．

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【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AD∥BC，继而可证得△AOE≌△COF（ASA），则可证得结论．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，AD∥BC， ∴∠OAE=∠OCF， 在△OAE和△OCF中，

，

∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE=OF．

【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

13．（2018?宿迁）如图，在?ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE=DF，EF分别与AB、CD交于点G、H．求证：AG=CH．

【分析】利用平行四边形的性质得出AF=EC，再利用全等三角形的判定与性质得出答案．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，∠A=∠C，AD∥BC， ∴∠E=∠F， ∵BE=DF， ∴AF=EC，

在△AGF和△CHE中

，

∴△AGF≌△CHE（ASA），

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∴AG=CH．

【点评】此题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，正确掌握平行线的性质是解题关键．

14．（2018?张家界）在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F． （1）求证：DF=AB；

（2）若∠FDC=30°，且AB=4，求AD．

【分析】（1）利用“AAS”证△ADF≌△EAB即可得；

（2）由∠ADF+∠FDC=90°、∠DAF+∠ADF=90°得∠FDC=∠DAF=30°，据此知AD=2DF，根据DF=AB可得答案．

【解答】证明：（1）在矩形ABCD中，∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠DAF， 又∵DF⊥AE， ∴∠DFA=90°， ∴∠DFA=∠B， 又∵AD=EA， ∴△ADF≌△EAB， ∴DF=AB．

（2）∵∠ADF+∠FDC=90°，∠DAF+∠ADF=90°， ∴∠FDC=∠DAF=30°， ∴AD=2DF， ∵DF=AB， ∴AD=2AB=8．

【点评】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质和全等三角形

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的判定与性质及直角三角形的性质．

15．（2018?盐城）在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示． （1）求证：△ABE≌△ADF；

（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．

【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；

（2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断； 【解答】证明：（1）∵正方形ABCD， ∴AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB， ∴∠ABE=∠ADF， 在△ABE与△ADF中

，

∴△ABE≌△ADF（SAS）；

（2）连接AC，四边形AECF是菱形． 理由：∵正方形ABCD， ∴OA=OC，OB=OD，AC⊥EF， ∴OB+BE=OD+DF，

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