∴∠DFG=90°，

在Rt△DFG和Rt△DCG中， ∵

，

∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL）， ∴GF=GC； （2）BH=

AE，理由是：

证法一：如图2，在线段AD上截取AM，使AM=AE， ∵AD=AB， ∴DM=BE，

由（1）知：∠1=∠2，∠3=∠4， ∵∠ADC=90°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°， ∴2∠2+2∠3=90°， ∴∠2+∠3=45°， 即∠EDG=45°， ∵EH⊥DE，

∴∠DEH=90°，△DEH是等腰直角三角形， ∴∠AED+∠BEH=∠AED+∠1=90°，DE=EH， ∴∠1=∠BEH， 在△DME和△EBH中， ∵

，

∴△DME≌△EBH， ∴EM=BH，

Rt△AEM中，∠A=90°，AM=AE， ∴EM=∴BH=

AE， AE；

证法二：如图3，过点H作HN⊥AB于N， ∴∠ENH=90°，

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由方法一可知：DE=EH，∠1=∠NEH， 在△DAE和△ENH中， ∵

，

∴△DAE≌△ENH， ∴AE=HN，AD=EN， ∵AD=AB，

∴AB=EN=AE+BE=BE+BN， ∴AE=BN=HN，

∴△BNH是等腰直角三角形， ∴BH=

HN=

AE．

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到

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相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．

7．（2018?重庆）如图，在?ABCD中，∠ACB=45°，点E在对角线AC上，BE=BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G．点H在BC的延长线上，且CH=AG，连接EH． （1）若BC=12

，AB=13，求AF的长；

（2）求证：EB=EH．

【分析】（1）依据BF⊥AC，∠ACB=45°，BC=12，可得等腰Rt△BCF中，BF=sin45°

=5；

×BC=12，再根据勾股定理，即可得到Rt△ABF中，AF=

（2）连接GE，过A作AF⊥AG，交BG于P，连接PE，判定四边形APEG是正方形，即可得到PF=EF，AP=AG=CH，进而得出△APB≌△HCE，依据AB=EH，AB=BE，即可得到BE=EH．

【解答】解：（1）如图，∵BF⊥AC，∠ACB=45°，BC=12∴等腰Rt△BCF中，BF=sin45°×BC=12， 又∵AB=13， ∴Rt△ABF中，AF=

，

=5；

（2）如图，连接GE，过A作AF⊥AG，交BG于P，连接PE， ∵BE=BA，BF⊥AC， ∴AF=FE，

∴BG是AE的垂直平分线， ∴AG=EG，AP=EP， ∵∠GAE=∠ACB=45°，

∴△AGE是等腰直角三角形，即∠AGE=90°， △APE是等腰直角三角形，即∠APE=90°，

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∴∠APE=∠PAG=∠AGE=90°， 又∵AG=EG，

∴四边形APEG是正方形， ∴PF=EF，AP=AG=CH， 又∵BF=CF， ∴BP=CE，

∵∠APG=45°=∠BCF， ∴∠APB=∠HCE=135°， ∴△APB≌△HCE（SAS）， ∴AB=EH， 又∵AB=BE， ∴BE=EH．

【点评】本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定以及全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．

8．（2018?玉林）如图，在?ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM'与NN'，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M′，N′，连接EF． （1）求证：四边形EFNM是矩形；

（2）已知：AE=4，DE=3，DC=9，求EF的长．

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