参考答案与试题解析

1．（2018?连云港）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．

（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；

（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；

（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE，再根据E是AD的中点，可得AD=2CD，依据AD=BC，即可得到BC=2CD． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠FAE=∠CDE， ∵E是AD的中点， ∴AE=DE，

又∵∠FEA=∠CED， ∴△FAE≌△CDE， ∴CD=FA， 又∵CD∥AF，

∴四边形ACDF是平行四边形；

（2）BC=2CD．

证明：∵CF平分∠BCD，

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∴∠DCE=45°， ∵∠CDE=90°，

∴△CDE是等腰直角三角形， ∴CD=DE，

∵E是AD的中点， ∴AD=2CD， ∵AD=BC， ∴BC=2CD．

【点评】本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．

2．（2018?湘西州）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE． （1）求证：△ADE≌△BCE；

（2）若AB=6，AD=4，求△CDE的周长．

【分析】（1）由全等三角形的判定定理SAS证得结论；

（2）由（1）中全等三角形的对应边相等和勾股定理求得线段DE的长度，结合三角形的周长公式解答．

【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AD=BC，∠A=∠B=90°． ∵E是AB的中点， ∴AE=BE．

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在△ADE与△BCE中，

，

∴△ADE≌△BCE（SAS）；

（2）由（1）知：△ADE≌△BCE，则DE=EC． 在直角△ADE中，AE=4，AE=AB=3， 由勾股定理知，DE=

=

=5，

∴△CDE的周长=2DE+AD=2DE+AB=2×5+6=16．

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

3．（2018?湘潭）如图，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与DF相交于点O． （1）求证：△DAF≌△ABE； （2）求∠AOD的度数．

【分析】（1）利用正方形的性质得出AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，即可得出结论； （2）利用（1）的结论得出∠ADF=∠BAE，进而求出∠ADF+∠DAO=90°，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB， 在△DAF和△ABE中，∴△DAF≌△ABE（SAS），

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，

（2）由（1）知，△DAF≌△ABE， ∴∠ADF=∠BAE，

∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=∠DAB=90°， ∴∠AOD=180°﹣（∠ADF+DAO）=90°．

【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，判断出△DAF≌△ABE是解本题的关键．

4．（2018?泰安）如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD．

（1）求证：△ECG≌△GHD；

（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论． （3）若∠B=30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．

【分析】（1）依据条件得出∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，依据F是AD的中点，FG∥AE，即可得到FG是线段ED的垂直平分线，进而得到GE=GD，∠CGE=∠GDE，利用AAS即可判定△ECG≌△GHD；

（2）过点G作GP⊥AB于P，判定△CAG≌△PAG，可得AC=AP，由（1）可得EG=DG，即可得到Rt△ECG≌Rt△GPD，依据EC=PD，即可得出AD=AP+PD=AC+EC； （3）依据∠B=30°，可得∠ADE=30°，进而得到AE=AD，故AE=AF=FG，再根据四边形AECF是平行四边形，即可得到四边形AEGF是菱形． 【解答】解：（1）∵AF=FG， ∴∠FAG=∠FGA， ∵AG平分∠CAB， ∴∠CAG=∠FGA，

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