【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D，

∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB=∠AFD=90°， ∵BE=DF， ∴△AEB≌△AFD ∴AB=AD，

∴四边形ABCD是菱形．

（2）连接BD交AC于O． ∵四边形ABCD是菱形，AC=6， ∴AC⊥BD，

AO=OC=AC=×6=3， ∵AB=5，AO=3， ∴BO=∴BD=2BO=8，

∴S平行四边形ABCD=×AC×BD=24．

=

=4，

【点评】本题考查菱形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

38．（2018?白银）已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点． （1）求证：△BGF≌△FHC；

（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．

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【分析】（1）根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可； （2）利用正方形的性质和矩形的面积公式解答即可． 【解答】解：（1）∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点， ∴FH∥BE，FH=BE，FH=BG， ∴∠CFH=∠CBG， ∵BF=CF，

∴△BGF≌△FHC，

（2）当四边形EGFH是正方形时，可得：EF⊥GH且EF=GH， ∵在△BEC中，点，H分别是BE，CE的中点， ∴GH=∴EF⊥BC，

∵AD∥BC，AB⊥BC， ∴AB=EF=GH=a， ∴矩形ABCD的面积=

．

，且GH∥BC，

【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据全等三角形的判定和正方形的性质解答．

39．（2018?梧州）如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的一条直线分别交AD，BC于点E，F．求证：AE=CF．

【分析】利用平行四边形的性质得出AO=CO，AD∥BC，进而得出∠EAC=∠FCO，再利用ASA求出△AOE≌△COF，即可得出答案．

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【解答】证明：∵?ABCD的对角线AC，BD交于点O， ∴AO=CO，AD∥BC， ∴∠EAC=∠FCO， 在△AOE和△COF中

，

∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE=CF．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．

40．（2018?大庆）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F． （1）证明：四边形CDEF是平行四边形；

（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度．

【分析】（1）由三角形中位线定理推知ED∥FC，2DE=BC，然后结合已知条件“EF∥DC”，利用两组对边相互平行得到四边形DCFE为平行四边形；

（2）根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB=2DC，即可得出四边形DCFE的周长=AB+BC，故BC=25﹣AB，然后根据勾股定理即可求得； 【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点， ∴ED是Rt△ABC的中位线， ∴ED∥FC．BC=2DE， 又 EF∥DC，

∴四边形CDEF是平行四边形；

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（2）解：∵四边形CDEF是平行四边形； ∴DC=EF，

∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴AB=2DC，

∴四边形DCFE的周长=AB+BC，

∵四边形DCFE的周长为25cm，AC的长5cm， ∴BC=25﹣AB，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∴AB2=BC2+AC2，即AB2=（25﹣AB）2+52， 解得，AB=13cm，

【点评】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．

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