概率论与数理统计 2003级

(2) EY=?1?0.2?3?0.5?1.3

EY2?1?0.2?9?0.5?4.7DY?EY?(EY)?4.7?1.3?3.01222

六、 (本题12分) 设总体X的概率分布为

X P 0 ? 2 1 2?(1??) 2 3 ? 21?2? 其中? (0???1)是未知参数，利用总体X的如下样本值：3，1，3，0，3，1，2，23，求 ? 的矩估计值和最大似然估计值。

解：E(X)?0??2?1?2?(1??)?2?2?3(1?2?)?3?4? x?1(3?1?3?0?3?1?2?3)?2 83?x1? 44624??3?4??2得? 令：EX?x,即： 对于给定的样本值，似然函数为：L(?)?4?(1??)(1?2?)

1??)?4ln(1?2?) lnL(?)?ln4?6ln??2ln(dlnL(?)6286?28??24?2 ?????0

d??1??1?2??(1??)(1?2?) 解得?1,2?7?137?1317?13?,因?不合题意，所以?? MLE1212212七、 (本题 9 分)某校有1000名学生，在某段时间内每个学生去去阅览室自修的概率是

0.05且每个学生去阅览室自修与否相互独立，问至少在该阅览室设多少座位，才能保证来自修的每个同学都有座位的概率不低于0.95.

解：设Xi??第i个学生去阅览室自修?1,

否则?0，5

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P(Xi?1)?p?0.05,P(Xi?0)?1?p?0.95

10001000名学生中去阅览室自修的人数为

?Xi?1i

1000设阅览室应设作为数为K,则P(?Xi?1i?K)?0.95

?(K?npK?npK?1000?0.05)?0.95??(1.645) 即：??1.645 npqnpq1000?0.05?0.95 K?50?1.645?1000?0.05?0.95?61.337

所以K?62即至少在阅览室设62个座位才能保证来自修的每个同学都有座的

概率不低于95%。

八、（本题10 分）某种导线，要求电阻的标准差不得超过0.005欧姆。今在生产的一批

导线中取样品9根，测得s=0.007欧姆，设总体为正态分布。问在水平??0.05下

2能否认为这批导线的标准差显著的偏大？（?0.05(8)?15.503）

解：由题意，欲检验的假设为

22 H0:?2??0?0.0052 H1:?2??0?0.005

检验统计量?2?(n?1)S2?2??2在H0成立时服从?02.05(n?1)??02.05(9?1) (n?1)S22?0 所以检验的拒绝域为

22??0.05(n?1)??0.05(9?1)?15.503

8?0.0072?15.68?15.503 又由观测值可算得：??20.0052 所以拒绝原假设。即认为这批导线的标准差显著偏大。

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