【答案】 45°,6?? 【考点】
球的体积和表面积 【解析】
先确定三棱锥?????????外接球的球心为????的中点，从而求出三棱锥?????????外接球的表面积，再利用球心??找出????⊥平面??????，从而找出????与平面??????所成角的平面角，再利用勾股定理即可求出结果． 【解答】
取????的中点??，????的中点??，连接????并延长至点??，使得????＝????，连接????，????，????，如图所示：
∵ △??????和△??????是同斜边的直角三角形，∴ 三棱锥?????????外接球的球心为????的中点，
又∵ ????=√(√5)2+12=√6，∴ 三棱锥?????????外接球的半径??=2????=∴ 三棱锥?????????外接球的表面积为：4??×()2=6??，
∵ ????⊥????，∴ 点??为△??????的外接圆圆心，∴ ????⊥平面??????， 又∵ 点??是????的中点，点??是????的中点，∴ ????⊥????， ∴ ????⊥平面??????，
∴ ∠??????为????与平面??????所成角的平面角， ∵ 在????△??????中，????=√????2?????2=，
21
√62
1
√6， 2
∴ ????＝2????＝1，
∵ 在????△??????中，????=√????2????2=√2， ∴ 在????△??????中，sin∠??????=故答案为：450，6??．
????????
1√2√2
，∴2
== ∠??????＝45°，
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
在①√3(??cos?????)=??sin??；②2??+??＝2??cos??；③??sin??=√3??sin中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题．
在△??????中，内角??，??，??的对边分别为??，??，??，且满足________，??=2√3，??+??＝4，求△??????的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】 ①
【考点】
试卷第9页，总23页
??+??2
这三个条件
余弦定理 正弦定理 【解析】
先利用正弦定理边化角，再结合两角和与差的正弦公式，求出??，再利用余弦定理求出????，从而求出三角形的面积． 【解答】
①若在横线上填写“√3(??cos?????)=??sin??”，
则由正弦定理，得√3(sin??cos???sin??)=sin??sin??． 由sin??＝sin(??+??)＝sin??cos??+cos??sin??， 得?√3cos??sin??=sin??sin??． 由0
所以?√3cos??=sin??．
又cos??≠0（若cos??＝0，则sin??＝0，sin2??+cos2??＝0这与sin2??+cos2??＝1矛盾）， 所以tan??=?√3． 又0
2??3
．
2??3
由余弦定理及??=2√3，得(2√3)2=??2+??2?2????cos
，
即12＝(??+??)2?????．将??+??＝4代入，解得????＝4， 所以??△??????=????sin??=×4×
2
2
1
1
√32
=√3；
②若在横线上填写“2??+??＝2??cos??”，
则由正弦定理，得2sin??+sin??＝2sin??cos??，
由2sin??＝2sin(??+??)＝2sin??cos??+2cos??sin??，得2cos??sin??+sin??＝0， 由0
所以cos??=?，又??∈(0,???)，所以??=
21
2??3
，
2??3
由余弦定理及??=2√3，得(2√3)2=??2+??2?2????cos
，
即12＝(??+??)2?????．将??+??＝4代入，解得????＝4， 所以??△??????=2????sin??=2×4×
1
1
√32
=√3；
??+??2
③若在横线上填写“??sin??=√3??sin”，
??+??2
则由正弦定理，得sin??sin??=√3sin??sin又??∈(0,???)，所以sin??≠0， 所以sin??=√3sin??
??
?????2
，
=√3cos2，
??
??
所以2sin2cos2=√3cos2， 又0
??
??√3，所以22
??2
<2，所以cos2≠0，
??
2??3
????
=3，即??=
，
2??3
由余弦定理及??=2√3，得(2√3)2=??2+??2?2????cos
，
试卷第10页，总23页
即12＝(??+??)2?????．将??+??＝4代入，解得????＝4， 所以??△??????=????sin??=×4×
2
2
1
1
√32
=√3；
已知等比数列{????}满足??1，??2，??3???1成等差数列，且??1??3＝??4；等差数列{????}的前??项和????=
(??+1)log2????
2
．求：
（1）????，????；
（2）数列{????????}的前项和????． 【答案】
设{????}的公比为??．
因为??1，??2，??3???1成等差数列，
所以2??2＝??1+(??3???1)，即2??2＝??3． 因为??2≠0，所以??=??2=2．
2
??
因为??1??3＝??4，所以??1=??4=??=2．
3
??
因此????=??1?????1=2??． 由题意，????=
(??+1)log2????
2
=
(??+1)??2
．
所以??1＝??1＝1，??1+??2＝??2＝3，从而??2＝2． 所以{????}的公差??＝??2???1＝2?1＝1．
所以????＝??1+(???1)??＝1+(???1)?1＝??． 令????＝????????，则????=???2??．
因此????＝??1+??2+...+????＝1×21+2×22+3×23+...+(???1)?2???1+???2??． 又2????=1×22+2×23+3×24+?+(???1)?2??+???2??+1 两式相减得?????=2+22+23+?+2??????2??+1=
2?2???21?2
????2??+1=2??+1?2????
2??+1＝(1???)?2??+1?2． 所以????=(???1)?2??+1+2． 【考点】 数列的求和 数列递推式 【解析】
（1）设{????}的公比为??，由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式可得首项和公比，进而得到所求；
（2）运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和． 【解答】
设{????}的公比为??．
因为??1，??2，??3???1成等差数列，
所以2??2＝??1+(??3???1)，即2??2＝??3． 因为??2≠0，所以??=??2=2．
2
??
因为??1??3＝??4，所以??1=??4=??=2．
3
??
因此????=??1?????1=2??．
试卷第11页，总23页
由题意，????=
(??+1)log2????
2
=
(??+1)??2
．
所以??1＝??1＝1，??1+??2＝??2＝3，从而??2＝2． 所以{????}的公差??＝??2???1＝2?1＝1．
所以????＝??1+(???1)??＝1+(???1)?1＝??． 令????＝????????，则????=???2??．
因此????＝??1+??2+...+????＝1×21+2×22+3×23+...+(???1)?2???1+???2??． 又2????=1×22+2×23+3×24+?+(???1)?2??+???2??+1 两式相减得?????=2+2+2+?+2????22??+1＝(1???)?2??+1?2． 所以????=(???1)?2??+1+2．
如图，在四棱锥???????????中，????＝2√3，????＝3，????=√3，?????//?????，????⊥平面??????，∠??????＝90，点??满足????=????+????．
3
3
°
→
2→
1→
2
3
??
??+1
=
2?2???21?2
????2??+1=2??+1?2????
（1）证明：????⊥????；
（2）求二面角??????????的余弦值． 【答案】
证明：在????△??????中，
由勾股定理，得????=√????2?????2=√32?(√3)2=√6． 因为????=3????+3????，????=?????????， 所以?????????=(3????+3????)?(?????????)=(√3)2+3×(√6)2+3×0=0， 所以????⊥????，
因为????⊥平面??????，?????平面??????， 所以????⊥????，
又因为????⊥????，????∩????＝??， 所以????⊥平面????????，
试卷第12页，总23页
→
→1
1
→
→
2→
1→
→
→
2→2?3????
→
2→
1→
→
→
→
+
1→2????3
+3?????????=?3×
1→
→
2