第二章习题答案

1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存 款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。计算X 。 解：

S? 1000s20|7%?XX?50000?1000s20|7%s10|7%s10|7%? 651.72

2．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。 月结算名利率18%。计算首次付款金额。 解： 设首次付款为X ，则有

1000?X?250a48|1.5%

解得X = 1489.36

3．设有n年期期末年金，其中年金金额为n，实利率i = 1

。试计算该年金的现值。 解：

PV?nan|i?n1?v1nY?XX1n?(n? 1)n?n(n? 1)nn2n?2

4．解： a2n?5．已知：a7?解：

?an??an?(1?d)n则d? 1?()n

。计算i。

? 5.58238, a11?? 7.88687, a18?? 10.82760a18??a7??a11?v7解得i = 6.0%

?s10??a??s10?6.证明： 证明：

11?v10

(1?i)s10??a??s10??10?11ii? 1010(1?i)?11?vi?17．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半

年200元，然后减为每次100元。 解：

PV?100a8p]3%?100a20]3%? 2189.7168．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金

帐号上存入1000元，共计25年。然

后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，

后15年的年利率7%。计算每年的退休金。

解： 设每年退休金为X，选择65岁年初为比较日

1000??s25]8%￢?Xa15]7%

解得X = 8101.65

9．已知贴现率为10%，计算a??8]。 解： d = 10%，则

i?11?d?1 ?198

? 5.6953??8]? (1 ?i)a1?vi10.求证：

??n]?1?a?an]? 1?v；?2?s n]?sn]?1 ? (1 ?i)nn

并给出两等式的实际解释。

?证明： (1)a¨n]1?vdn?1?vin?1?vin? 1?v n1?i?所以a¨n]an]? 1?v(1?i)?1dnn

(1?i)?1i1?in? (2)s¨n]??(1?i)?1in? (1 ?i)?1

n?所以a¨n]sn]?1 ? (1 ?i) n12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利

率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终 值。 解：

PV = 100a49】1.5% ? 100a 2]1.5% = 3256.88 AV = 100s49]1.5% ? 100s2]1.5% ￢ = 6959.37

13.现有价值相等的两种期末年金A和B。年金A在第1－10年和第21－30年中每 年1元，在第11－20年中每年2元；年金B在第1－10年和第21－30年中每年付款金 额为Y ，在第11－20年中没有。已知：v10，计算Y 。

解： 因两种年金价值相等，则有

a30]i?a10]i v10?12

?Y a30]i ?Ya1010iv10

所以Y?3?v1?v?2v?2v3030? 1.8

14.已知年金满足：2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36；另 外，递延n年的2元n 期期末年金的现值为6。计算i。 解： 由题意知，

2a2n]i? 3an]i? 362an]iv? 6n

解得i = 8.33% 15.已知

a7]a11]?a3]?sX]aY]?sZ]。求X，Y和Z。

解： 由题意得

1?v1?v711?(1 ?i)XZ?v3Y(1 ?i)?v

解得

X = 4, Y = 7,Z = 4 16.化简a15](1 ?v15解：

a15](1 ?v15?v30)。

?v30) ?a45]

17.计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一

次2000元，半年结算名利率9%。

解： 年金在4月1日的价值为P = (1+4.5%)/4.5% × 2000 = 46444.44 ，则

PV?P(1 ?i)2?23? 41300.657

18.某递延永久年金的买价为P，实利率i，写出递延时间的表达式。 解： 设递延时间为t，有

P?1ivt解得t??lniPln(1?i)

19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。从第三十年底开始每年领取一

定的金额X，直至永远。计算X。

解： 设年实利率为i，由两年金的现值相等，有

??20]i?1000aXiv29

30解得X? 1000((1 ?i)?(1 ?i))

1020.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A、B、C、和D：前n年，A、B和C三人 平分每年的年金，n年后所有年金由D一人继承。如果四人的遗产份额的现值相

同。计算(1 ?i)n。

解： 设遗产为１，则永久年金每年的年金为i，那么A,B,C得到的遗产的现值 为

i3an]in，而D得到遗产的现值为vn。由题意得

n1?v3?v所以(1 ?i)n? 4

21.永久期末年金有A、B、C、和D四人分摊，A接受第一个n年，B接受第二

个n年，C接受第三个n 年，D接受所有剩余的。已知：C与A的份额之比为0.49， 求B与D的份额之比。 解： 由题意知

PVCPVA?an]v2nan]? 0.49

那么

PVBPVD?an]v1inv3n? 0.61

22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最 后一次的还款大于100元。计算最后一次还款的数量和时间。 解： ??

100an]4.5%v?1000100an?1]4.5%v?100044解得n = 17

列价值方程

100a16]4.5%?Xv1 ? 10002解得X = 146.07

23.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。如果

以同样的年利率计算货币的价值在n年内将增加一倍，计算n。 解： 两年金现值相等，则4?a36]i由题意，(1 ?i)n? 2? 5?18，可知v18? 0.25

解得n = 9

24.某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元，5年还清；k个月后一 次还6000元。已知月结算名利率为12%，计算k。 解： 由题意可得方程

100a60p1% ￢ = 6000(1 + i)?k 解得k = 29 25.已知a2]i? 1.75，求i。

解： 由题意得

1?v? 1.75i2解得i = 9.38%

26.某人得到一万元人寿保险赔付。如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20年

的期末年金为每年1072元。计算年利率。 解：

27.某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半内提前支 取，银行将扣留提款的5% 作为惩罚。已知：在第4、5、6和7年底分别取出K元， 且第十年底的余额为一万元，计算K 。 解： 由题意可得价值方程

10000 ? 105Ka2]4%v?Ka2]4%? 10000v则K?10000?10000v3105310105a2]4%v?a2]4%v? 979.94

28.贷款P从第六个月开始分十年逐年还清。第一次的还款额为后面还款的一半， 前四年半的年利率为i，后面的利率为j。计算首次付款金额X的表达式。 解： 选取第一次还款日为比较日，有价值方程

1P(1 ?i)2?X? 2X所以X?a4]i? 2Xa5]j(1 ?i)1?4P(1 ?i)21 ?2a4]i?2a5]j(1 ?i)?4

29.已知半年名利率为7%，计算下面年金在首次付款8年后的终值：每两年付 款2000元，共计8次。 解：

30.计算下面十年年金的现值：前5年每季度初支付400元，然后增为600元。已知 年利率为12%。（缺命令） 解：

PV? 4?400 ? 4?600v? 11466.145

31.已知半年结算的名贴现率为9%，计算每半年付款600元的十年期初年金的现 值表达式。 解：

32.给出下面年金的现值：在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。 解：

PV?1s4]ia24]iv?3(1 ?i)2724?14(1 ?i)[(1 ?i)?1]?a28]?a4]s3]?s1]

33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末 年金代替，半年换算名利率4%，求R的表达式。

解： 设年实利率为i，则(1 + 2%)2 = 1 + i。有题意得

750i?750s20]pii?Ra30]i

解得R = 1114.77

34.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91，计算年利率。

解： 由题意知

1is3]i?12591解得i = 20%

35.已知：1元永久期初年金的现值为20，它等价于每两年付款R元的永久期初年 金，计算R。 解： 由题意得

20 ?1d?Ra2]ii解得R = 1.95

36.已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。试用贴现率表示递延 时间。

解： 设贴现率为d，则1 ?i?2?2?1(1?d)12

设递延时间为t，由题意得

???]10000 ? 2?500vat?2?解得t?2??ln 20 ? ln(1?(1?d))ln(1?d)?2?12

37. 计算：3an?]?2?2a2n]? 45s1]，计算i 。

解：

3?ii?2?an]i? 2?ii2an]i? 45?ii2s1]i解得：v?n12, i?130

39.已知：?t?t11?t?sds。求aˉ的表达式。 n]??解：aˉn]?0en?0dt? ln(1 ?n)

40.已知一年内的连续年金函数为常数1，计算时刻t，使得只要在该时刻一次性

支

付一个货币单位，则两种年金的现值相等。 解： 第一种年金的现值为?0v1tdt?1?e??? 第二种年金的现值为e??t，则

1?e????e??t所以t? 1 ?1?ln?i 41.已知：δ = 0.08。计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现

值。（结果和李凌飞的不同）

1解： 设季度实利率为i。因a(t) ??80]i? 100(1 ?i)PV? 100a1?vi80?e?t，则e4

?? (1 ?i)所以

? 4030.5342.现有金额为40,000元的基金以4%的速度连续累积。同时每年以2400元的固定

速连续地从基金中取钱，该基金可以维持多少时间？ 解： 设年实利率为i，则i?e?1设基金可维持t年，由两现值相等得

?40000 ? 2400at]i解得t = 28

43.已知某永久期末年金的金额为：1，3，5，. . . 。另外，第6次和第7次付款的现值

相等，计算该永久年金的现值。 解： 由题意：

11(1?i)6?13(1?i)27?i?211 nPV?v? 3v??? (2n?1)v? ?v[1 ?PV? 2(v?v??)]?v(1 ?PV? 2v1?v)2

解得:PV = 66

44.给出现值表达式Aan|?B(Da)n|所代表的年金序列。用这种表达式给出如

下25年递减年金的现值：首次100元，然后每次减少3元。

解： 年金序列：A + nB,A + (n ? 1)B, . . . ,A + 2B,A + B 所求为25a25|? 3(Da)25|

45. 某期末年金（半年一次）为：800, 750, 700, . . . , 350。已知半年结算名利率

为16％。若记：A?a10|8% ，试用A表示这个年金的现值。

解： 考虑把此年金分割成300元的固定年金和500元的递减，故有：

300a10|8%? 500(Da)10|8%?300A?2?(10?A)i?2?? 6250?325A

47. 已知永久年金的方式为：第5、6年底各100元；第7、8年底各200元，第9、10年底各300元，依此类推。证明其现值为:

100v4i?vd

解： 把年金分解成：从第5年开始的100元永久年金，从第7年开始的100元永久

年金. . .。从而

PV?v4100i11a2|ii? 100v4112i1?v? 100v4i?vd

48. 十年期年金：每年的1月1日100元；4月1日200元；7月1日300元；10月1日400元。

?4??4???(Ia??)证明其现值为：1600a元 10|1|证： 首先把一年四次的付款折到年初：m? 4, n? 1,R? 100m2? 1600

?4???)元 从而每年初当年的年金现值：1600(I?4?a1|???(I再贴现到开始时：1600a10|4???)a1|?4?元

49. 从现在开始的永久年金：首次一元，然后每半年一次，每次增加3％，年利

率8％，计算现值。 解： 半年的实利率：

PV? 1 ?1.031 ?j1.031 ?j)??1j? ?1 ? 8%??1 ? 3.923"12

1.03(1 ?j)??? (1?

? 112.5950. 某人为其子女提供如下的大学费用：每年的前9个月每月初500元，共计4年。 证明当前的准备金为：

??a??6000a证： 首先把9个月的支付贴现到年初：m = 12, n = 9/12,R = 500m = 4|9/12|(12)6000 从而

每年初当年的年金现值：

??a????6000a贴现到当前：6000a 4|9/12|9/12|(12)?12?51. 现有如下的永久年金：第一个k 年每年底还；第二个k 年每年底还2R ；第

三

个k 年每年底还3R；依此类推。给出现值表达式。

解： 把此年金看成从第nk年开始的每年为R的永久年金(n = 0, 1, 2, · · · ): 每个年金的值为

Ra?在分散在每个k年的区段里：

R(a?|)ak|Ra?|ak|2

再按标准永久年金求现值：v

52.X表示首次付款从第二年底开始的标准永久年金的现值，20X表示首次付款

从第三年底开始的永久年金：1, 2, 3, · · · 的现值。计算贴现率。 解： 由题意： ? ?

X?11i1?i111?

20X? (?2)2ii(1?i)解得：i = 0.05 即：d?i1?i? 0.04762

53. 四年一次的永久年金：首次1元，每次增加5元，v4 = 0.75，计算现值。与原答案有出入 解： (期初年金)

?PV? 1 ? 6v? 11v???49?i?1(5n?4)v(4n?4)?5(1?v)42?41?v4? 64

V(期末年金)P¨?v? 6v? 11v ???v?PV? 59.5587510

54. 永久连续年金的年金函数为:(1 + k)t，年利率i，如果：0 < k < i ，计算

该年

金现值。与原答案有出入

解： 由于0 < k < i，故下列广义积分收敛：

PV??0(1 ?k)e?t??tdt??0(?1 ?k1 ?i)dt?t1ln(1 ?i)?ln(1 ?k)

59. 计算m + n年的标准期末年金的终值。已知：前m年年利率7%，后n年年利 率11%，sm|7%? 34, sn|11%? 128。

n解： 由sn|的表达式有：(1 ? 0.11)? 0.11n|11%? 1

n AV?sm|7% ?(1 ? 0.11)?sn|11%?sm|7%?(0.11sn|11%? 1) ?sn|11%? 640.72

60. 甲持有A股票100股，乙持有B股票100股，两种股票都是每股10元。A股票每 年底每股分得红利0.40元，共计10年，在第10次分红后，甲以每股2元的价格将所

有的股票出售，假设甲以年利率6%将红利收入和股票出售的收入进行投资。B股 票在前10年没有红利收入，从第11年底开始每年每股分得红利0.80元，如果乙也 是以年利率6%进行投资，并且在n年后出售其股票。为了使甲乙在乙的股票出售 时刻的累积收入相同，分别对n = 15, 20两种情况计算乙的股票出售价格。 解： 设X为买价，有价值方程：

0.4s10|6%? 2 ? 0.8sn?10|6%?X(1 ? 0.06)?(n?10)从而有：

X? (0.4s10|6%￢? 2?0.8sn?10|6%)(1 ? 0.06)(n?10)

解得：X =?? ?

5.22 n = 15 2.48 n = 20

61. 某奖学金从1990年元旦开始以十万元启动，每年的6月30日和12月31日用半 年结算名利率8%结算利息。另外，从1991年元旦开始每年初可以固定地收到捐 款5000元。(从1991年的7月开始？)每年的7月1日要提供总额为一万二千元的奖 金。计算在2000年元旦的5000元捐款后基金的余额。 解： 由题意：

AV? 100000?1?4%?20?5000s20|4%s2|4%?12000?1?4%?s20|4%s2|4%? 109926.021

62. 已知贷款L经过N（偶数）次、每次K元还清，利率i 。如果将还贷款次数减少

一半，记每次的还款为K1，试比较K1与2K 的大小。 解： 由题意：

K1am|i?Ka2m|i ?K1?K[1 ?1(1 ?i)m]?2K

63. 已知贷款L经过N次、每次K元还清，利率i 。如果将每次的还款额增加一倍， 比较新的还款次数与N/2的大小。 解： 由题意：

2KaM|i?KaN|i ?vM?1 ?v2N? vN2即：M < N/2