如图所示，太阳系的行星在围绕太阳运动．

(1)地球、火星等行星绕太阳的运动遵守什么规律？

(2)如何比较地球、火星等行星绕太阳的运动的线速度、角速度、周期及向心加速度等各量的大小关系？

提示：(1)地球、火星等行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，万有引力提供向心力．

v2Mm4π2

2(2)由G2＝man＝mr＝mωr＝m2r表达式可知线速度、角速度、周期

rT及向心加速度等各量都与轨道半径有关系．

[探究归纳]

1．解决天体运动问题的基本思路

一般行星或卫星的运动可看成匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天Mm

体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立基本关系式：G2＝ma，式中

Ra是向心加速度．

2．四个重要结论

项目 v与r的关系 ω与r的关系 推导式 v2MmG2＝mr rMmG2＝mrω2 r关系式 v＝ω＝GMr GM r3结论 r越大，v越小 r越大，ω越小 9

Mm?2π?T与r的关系 G2＝mr??2 T＝2πr?T?a与r的关系 MmG2＝ma ra＝r3r越大，T越大 GM GM r2r越大，a越小 【例2】 有的天文学家倾向于把太阳系外较小的天体叫作“矮行星”，而另外一些人把它们叫作“小行星”，谷神星就是小行星之一．现有两个这样的天体，它们的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2，求：

(1)它们与太阳间的万有引力之比； (2)它们的公转周期之比．

[解析] (1)设太阳质量为M，由万有引力定律得，两天体与太阳间的万有引Mm1

G22r1F1m1r2

力之比＝＝2.

F2Mm2m2r1

G2

r2

(2)两天体绕太阳的运动可看成匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，则Mm?2π?有G2＝m?T?r

r??

所以，天体绕太阳运动的周期T＝2πT1则两天体绕太阳的公转周期之比＝

T2

2m1r2

[答案] (1)2 (2)

m2r1

3r13 r2

2

r3

GM r31. r32

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上例中，若r1＞r2，则两行星的运行的角速度ω1、ω2和线速度v1、v2的关系怎样？

提示：ω1＜ω2，v1＜v2.

2．探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比( )

A．轨道半径变小 C．线速度变小

B．向心加速度变小 D．角速度变小

Mm4π2

A [探测器做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则：G2＝m2r，

rT整理得T＝2π

r3Mm

，可知周期T较小的轨道，其半径r也小，A正确；由GGMr2

M

Gr，ω＝

GM

，可知半径变r3

v2M

＝man＝mr＝mω2r，整理得：an＝G2，v＝

r

小，向心加速度变大，线速度变大，角速度变大，故B、C、D错误．]

宇宙双星问题 [要点归纳]

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如图所示，宇宙中两个靠得比较近的天体称为双星，它们绕其连线上的某固定点做匀速圆周运动．双星具有以下特点：

(1)由于双星和该固定点总保持三点共线，所以双星做匀速圆周运动的角速度和周期分别相同．

(2)由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等．

(3)轨道半径与质量的关系

由F＝mrω2和L＝r1＋r2，可得r1＝

m2m1r1m2

L，r2＝L，则＝. r2m1m1＋m2m1＋m2

【例3】 (多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )

A．质量之积 B．质量之和 C．速率之和

D．各自的自转角速度

BC [由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，则两中子星的周期相等，且均为T＝

12π

s，两中子星的角速度均为ω＝T，两中子星构12

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