【高中数学】数学《平面解析几何》高考知识点
一、选择题
x2y21．倾斜角为45?的直线与双曲线?2?1交于不同的两点P、Q，且点P、Q在x轴
4b上的投影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的焦距为（ ）
A．23?2 【答案】B 【解析】 【分析】
方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，可得Rt△QOF2为等腰三角形且
B．25?2
C．3?1
D．5?1
?QOF2?45?，根据勾股定理及双曲线的定义可得：c?5?1.方法二：等腰
22bbRt△QOF2中，可得QF2?，且?c.又根据b2?a2?c2，联立可解得c?5?1. aa【详解】
方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，在等腰Rt△QOF2中，?QOF2?45?， .则F1F2?2c，QF2?c，QF1?5c
，由双曲线的定义可得：QF 1?QF2?2a即5c?c?4，c?5?1 ，故2c?25?2.
2b方法二：等腰Rt△QOF2中，QF2?，
ab2∴?c. a又b2?a2?c2， ∴c2?2c?4?0， 得c?5?1. ∴2c?25?2. 故选：B. 【点睛】
本题考查双曲线的性质，解题关键是将题目条件进行转化，建立等量关系求解，属于中等题.
y2x22．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离为4，
ba且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )
A．25 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
B．23 C．43 D．45 解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1）， 即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2＝2px的准线方程为x??则抛物线的焦点为（2，0）；
则双曲线的左顶点为（-2，0），即a=2；
点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y??由双曲线的性质，可得b=1； 则c?p，则p=4， 21x， 25，则焦距为2c=25；
故选A．
3．已知抛物线C:x2?6y的焦点为F直线l与抛物线C交于A,B两点，若AB中点的纵坐标为5，则|AF|?|BF|?（ ） A．8 【答案】C 【解析】 【分析】
设点A、B的坐标，利用线段AB中点纵坐标公式和抛物线的定义，求得y1?y2的值，即可得结果； 【详解】
抛物线C:x?6y中p＝3， 设点A（x1，y1），B（x2，y2），
由抛物线定义可得：|AF|+|BF|＝y1+ y2+p＝y1+ y2+3， 又线段AB中点M的横坐标为∴y1?y2＝10， ∴|AF|+|BF|＝13； 故选：C. 【点睛】
本题考查了抛物线的定义的应用及中点坐标公式，是中档题．
2B．11 C．13 D．16
y1?y2?5， 2
4．已知抛物线C：y2?12x的焦点为F，A为C上一点且在第一象限，以F为圆心，
FA为半径的圆交C的准线于B，D两点，且A，F，B三点共线，则AF?（ ）
A．16 C．12 【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意可知AD?BD，利用抛物线的定义，可得?ABD?30?，所以
B．10 D．8
|AF|?|BF|?2?6?12．
【详解】
解：因为A，F，B三点共线，所以AB为圆F的直径，AD?BD． 由抛物线定义知|AD|?|AF|?1|AB|，所以?ABD?30?．因为F到准线的距离为6， 2所以|AF|?|BF|?2?6?12． 故选：C．
【点睛】
本题考查抛物线的性质，抛物线的定义，考查转化思想，属于中档题．
5．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、
22322对称美、和谐美的结合产物，曲线C:(x?y)?16xy恰好是四叶玫瑰线.
给出下列结论：①曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任
意一点到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C围成区域的面积大于4?；④方程
(x2?y2)3?16x2y2?xy?0?表示的曲线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是
( ) A．①③ 【答案】B 【解析】 【分析】
利用基本不等式得x?y?4，可判断②；x?y?4和x2?y222B．②④ C．①②③ D．②③④
22??3?16x2y2联立解得
x2?y2?2可判断①③；由图可判断④.
【详解】
?x2?y223??x2?y2?22?16xy?16??，
?2?22解得x?y?4（当且仅当x?y?2时取等号），则②正确； 将x?y?4和x2?y2222222??3?16x2y2联立，解得x2?y2?2，
即圆x?y?4与曲线C相切于点
?2,2，?2,2，?2,?2，
??????2,?2，
?则①和③都错误；由xy?0，得④正确. 故选：B. 【点睛】
本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.
226．设抛物线C:y?2px?p?0?的焦点为F，抛物线C与圆C?:x?(y?)?25425于16A,B两点，且AB?5若过抛物线C的焦点的弦MN的长为8，则弦MN的中点到直线
x??2的距离为（ ）
A．2 【答案】B 【解析】 【分析】
2易得圆C?过原点，抛物线y?2px也过原点，联立圆和抛物线方程由AB求得交点坐
B．5 C．7 D．9
标，从而解出抛物线方程，根据抛物线定义即可求得弦MN的中点到直线x??2的距离. 【详解】