y?1?2?e,x?0;?e, fY(y)??2fX(x)??x?0.?0,??0,?xy?0;

y?0.求Z?X?Y的概率密度．

解法1 由卷积公式 fZ(z)????fX(x)fY(z?x)dx

?e?0?xy?1?2x>0;?e fY(y)??2x?0.?0???因为fX(x)??y>0;y?0.?x

所以 fZ(z)????fX(x)fY(z?x)dx??0efY(z?x)dx

令t?z?x??ze????ezt?z??????t?zfY(t)dt

fY(t)dt

t?z当z?0时 fZ(z)????efY(t)dt?0 当z?0时 fZ(z)????efY(t)dt??0efZ(z)??????zzt?zzt?zzt1?2?z2edt?e(e?1), 2z??e?z(e2?1),z?0,fX(x)fY(z?x)dx??

?0,z?0.?解法2 先求Z的分布函数FZ(z). 联合密度函数为

y?1?x?2?ee,x?0,y?0, f(x,y)?fX(x)fY(y)??2?0,其它,?

FZ(z)?P{Z?z}?P{X?Y?z}?当z?0时, FZ(z)?当z?0时, FZ(z)?x?y?z??f(x,y)dxdy

x?y?z??f(x,y)dxdy?0,

y1?x?2f(x,y)dxdy???eedxdy

2Dx?y?z????z0zy?z?x?1?x?zedx?e2dy?e?2e2?1

02

z???z2?分布函数为 FZ(z)??e?2e?1,z?0

?0,z?0?z??z2?再求导,得概率密度 fZ(z)?FZ?(z)??e(e?1),z?0,

?0,z?0.?5．设(X1,X2,解 设x1,x2,,Xn)是来自总体N(?,?2)的样本，求?和?2的最大似然估计量． ,xn，相应的样本观测值，则似然函数为

nL(?,?2)??i?112??n2e?(xi??)22?2

?1??1??exp??2??2??2??2??(xi??)2?i?1n??取对数，得

n1n2lnL(?,?)??(ln2??ln?)?2?(xi??)2

22?i?12将lnL(?,?2)分别对?与?2求偏导数，并令其等于零， 得方程组

??lnL1n?2?(xi??)?0????i?1 ? ?n?lnLn1???2?4?(xi??)2?02?2?2?i?1???解此方程组，得到参数?和?2的最大似然估计值是

1n????xi?x;???ni?1 ?n1??2??(x?x)2.i?ni?1?因此,?和?2的最大似然估计量是

1n????Xi?X;???ni?1 ?n1??2??(X?X)2.i?ni?1? 得分 1．（6分）若P(A|B)?P(A|B)，试证P(B|A)?P(B|A)． 证明 因为

四、证明题（共2道小题，满分11分）

P(A|B)?P(AB)P(B)P(AB)P(A?AB)P(A)?P(AB)P(A|B)???P(B)1?P(B)1?P(B)

由 P(A|B)?P(A|B)， P(AB)P(A)?P(AB)? P(B)1?P(B)所以得

P(AB)?P(B)P(AB)?P(A)P(B)?P(B)P(AB) ?P(AB)?P(A)P(B)

从而 即

P(AB)?P(A)P(AB)?P(A)P(B)?P(A)P(AB)

P(AB)P(A)?P(A)P(BA) P(AB)P(BA)? P(A)P(A)所以P(B|A)?P(B|A)． 2．（5分）设(X1,X2,n

,Xn)是来自总体N(0,1)的样本，证明P0??Xi2?2n?i?1?n?n?2． n证明 根据?2??Xi2~?2(n)，且E(?2)?n,D(?2)?2n，

1由切比雪夫不等式，有

P0??Xi2?2n?P?|?2?E(?2)|?n1?n??

D(?2)n?2． ?1??n2n