2007 – 2008学年第一学期《概率论与数理统计A》试卷答案
2008年1月16 日 一 得分 1．设P(A)?P(B)?p，且A,B至少有一个发生的概率为0.2，A,B至少有一个不发生的概率为0.6，则p? 0.3 ． 解 已知P(AB)?0.2,P(AB)?0.6，
0.2?P(AB)?P(A)?P(B)?P(AB)?2p?P(AB)，
二 三 四 总分 一、填空题（每小题3分，满分21分，把答案填在题中横线上）
0.6?P(AB)?1?P(AB)?1?P(AB)，
P(AB)?0.4， p?0.3
2．11个人随机地围一圆桌而坐，则甲乙两人相邻而坐的概率为 0.2 ．
解 设A表示事件“甲乙相邻而坐”。
样本空间所包含的基本事件数为11！，事件A包含的基本事件数为11?2?9!
P(A)?11?2?9！2??0.2 11！10?X?np??x??
?np(1?p)?P?3．设随机变量X~B(n,p)，则对任意实数x，有limn???(x)或?x??1?t2edt． 2?24．设随机变量X与Y的方差和相关系数分别为D(X)?3,D(Y)?4,?XY?0，则
D(2X?Y?1)? 16 ．
解 D(2X?Y?1)?D(2X?Y)
?D(2X)?D(Y)?2cov(2X,Y) ?4D(X)?D(Y)?4cov(X,Y)
?4D(X)?D(Y)?4?XYD(X)D(Y)
=16
5．设X~N(0,1)，1.96是标准正态分布的上0.025分位点，则P?X?1.96?? 0．975 ．
解 1.96是标准正态分布的上0.025分位点，即P?X?1.96??0.025
P?X?1.96??1?P?X?1.96??1?0.025?0.975
6．设(X1,X2,2n2,Xn)是来自总体N(?,?2)的样本，则当常数k?1时，n?1??k?(Xi?X) 是参数?2的无偏估计量．
i?17．设总体X~N(?,?2)，(X1,X2,,Xn)是来自总体X的样本，X为样本均值，S2为
样本方差，?2未知，若检验假设H0:???0,H1:???0，应取检验统计量为X??0~ Snt(n-1). 得分 二、选择题（每小题3分，满分18分）
1．若随机变量X与Y满足条件D(X?Y)?D(X)?D(Y)， 则下面结论不成立的是（ C ）
（A）X与Y不相关．
（B）E(XY)?E(X)E(Y)．
（C）X与Y相互独立． （D）cov(X,Y)?0．
??kcosx,|x|?,??22．设随机变量X的概率密度为f(x)?? 则k等于（ B ）
??0,|x|?.??2 （A）． （B）． （C）0． （D）1．
14123．某班12名战士各有一支归自己使用的枪，枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了一支枪，则拿到是自己枪的人数的数学期望是（ D ） （A）
1． （B）0． （C）12． （D）1． 12?1,第i个战士拿到自己的枪，i?1,2,解 设Xi??0,第i个战士没拿到自己的枪，?设X表示拿到自己枪的人数.则X??Xi
i?112,12，则E(Xi)?1, 121?12?12E(X)?E??Xi???E(Xi)??12?1
12?i?1?i?14．设X与Y为相互独立的随机变量，其分布函数分别为FX(x)和FY(y)，则随机变
量Z?max(X,Y)的分布函数为（ A ） （A）FZ(z)?FX(z)FY(z)．
（B）FZ(z)??1?FX(z)??1?FY(z)?．
（C）FZ(z)?1?FX(z)FY(z)．（D）FZ(z)?FX(z)?FY(z)．
5．设(X1,X2,,X10)是来自总体N(0,?2)的样本，则下面结论正确的是（ C ）
（A）（C）
1?X?k?12102k~?(9)．
2（B）?Xk2~t(9)．
k?1101?22 X~?(10)． ?k2k?110（D）?Xk2~t(10)．
k?1106．设总体X~N(?,?2)，?为未知参数，样本X1,X2,,Xn的方差为S2，对给定的显著水平?，检验假设H0:?2?2,H1:?2?2的拒绝域是（ B ） （A）?2??12?a/2(n?1)． （C）?2??12?a/2(n)． 得分 1．一个系统中有三个相互独立的元件，元件损坏的概率都是0.2．当一个元件损坏时，系统发生故障的概率为0.25; 当两个元件损坏时，系统发生故障的概率为0.6; 当三个元件损坏时，系统发生故障的概率为0.95; 当三个元件都不损坏时，系统不发生故障. 求系统发生故障的概率． 解 设A表示“系统发生故障”的事件，
Bi表示“有i个元件发生故障”的事件，i?1,2,3；
（B）?2??12?a(n?1)．
（D）?2??12?a(n)．
三、计算题（每小题10分，满分50分）
由全概率公式 P(A)?P(B1)P(AB1)?P(B2)P(AB2)?P(B3)P(AB3) 由已知，P(AB1)?0.25，P(AB2)?0.6，P(AB3)?0.95
1P(B1)?C3?0.2?0.82?0.384 ，P(B2)?C32?0.22?0.8?0.096 ，P(B3)?C330.23?0.008
所以P(A)?0.384?0.25?0.096?0.6?0.008?0.95?0.1612 2．设随机变量X的分布律为
X -1 0 1 2 P 0.1 0.2 a b
若E(X)?1，(1)求常数a , b; (2)求Y=X 2 的分布律.
解 (1)由 0.1?0.2?a?b?1,
E(X)??1?0.1?0?0.2?1?a?2?b=1,
解得a =0.3, b=0.4. (2) Y=X 2的可取值为0,1,4.
P?Y?0??P?X?0??0.2,
P?Y?1??P?X??1?+P?X?1??0.1+0.3=0.4, P?Y?4??P?X?2??0.4, 因此Y=X 2 的分布律为
Y 0 1 4 P 0.2 0.4 0.4
3．设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为
?Ax,0?x?y<1,f(x,y)??
0,其他.?（1）求常数A； （2）求关于X,Y的边缘概率密度函数；
（3）判断X与Y是否相互独立；（4）求P{X?Y?1}． 解（1）由??????f(x,y)dxdy?1，
有 1??0dy?0Axdx???????1yA，得A?6； 6（2）fX(x)=???f(x,y)dy, 当x?0或x?1时，fX(x)=0,
当0?x?1时，fX(x)??x6xdy?6x(1?x)， 所以fX(x)???6x(1?x),0?x?1;
0其它.?1?3y2,0?y?1;同理 fY(y)??
0其它.?（3）由f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以X与Y不相互独立 （4）P(X?Y?1)??026xdx?xdy?.
4．设随机变量X与Y相互独立，其概率密度分别为
11?x14