limxk??(k)?x*。
由定义可知：
limxk??(k)?x?limxk??*(k)?x*??0，
limxk??(k)?x?limx(k)?x*?0， 1k???x?limxk??*limxk??(k)*(k)?x*2?0。
3、向量范数的等价性 定理 设
nx
s和
xt是Rn上向量的任意
两种范数，则存在常数c2?c1?0，使得对一切x?R，有
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c1xs?xt?c2x
s。
特别，对于上述常用的三种范数，有
xx???x1?nx?,?x2?nx?,1x1?x2?x1。 n
二、矩阵范数
定义3 如果矩阵空间Rn?n上的某个非负
实值函数N(A)?A满足以下条件：
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A?0（1） 正定性：，且A?0?A?0；
（2）齐次性：
cA?cA，c为任意实数；
n?n（3）三角不等式：A?B?A?B； 则称N(A)为R
由（3）可得
上的一个矩阵范数。
A?B?A?B。
在研究方程组解的误差时，常需要涉及到矩阵乘积的范数以及矩阵与向量乘积的范数，
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为了研究的方便，我们要求它们之间满足
Ax?AxAB?AB，，
其中前一个条件称为矩阵范数与向量范数的相容性，后一个条件称为矩阵范数的可乘性。
下面用向量范数定义一类矩阵范数，这种矩阵范数满足上述两个条件。
定理1 设x?R,A?Rnn?n，给定一种向
量范数xv，相应地定义一个矩阵的非负函数
Av?maxx?0
Axx8
vv?maxAxxv?1v，