浅谈同态和同构
摘 要
近世代数的主要研究内容是所谓的代数系统，即带有运算的集合.近世代数在数学的其他分支和自然科学的许多部门里都有重要的应用，在近世代数中，同态与同构是一个较为初等但又极为重要的概念，它们是相互联系又有所不同的.同态是保持代数系统结构的映射，是同构的推广.在不同的代数系统中同态成为同构的条件不同，这里阐述了同态成为同构的条件，论述了同态及同构在不同代数系统上的一些应用，从中说明了同态与同构的重要性.
关键词：同态；同构；群；环
Abstract
The main research contents of modern algebra is so-called algebraic system,namely the set with operations.Modern algebra has important applications in other branchs of mathematics and many departments of natural science.Homomorphism and isomorphism are of great importance and are more elementary and they are related and different as well. Homomorphism is a shine upon which keeps the structure of the system of algegbra,and a extender of isomorphism. We first introduce the concepts of homomorphism and isomorphism and analyze the difference and relation of homomorphism and isomorphism. The condition on which homomorphism becomes isomorphism is given and we show some applications of homomorphism and isomorphism in different algebra systems, which illustrates the importance of homomorphism and isomorphism. Keywords: Homomorphism; Isomorphism; Group; Ring
前 言
为了深入研究代数系统的结构，须将同类型的代数系统加以比较，以得到这种体系更为本质的性质，使得将这种类型的代数系统分类成为可能，分类的目的就是减少研究对象，即通过对少数特殊代数系的研究，把结果移植到与其有相同或相似结构的对象中.同态与同构就是实现这种分类的主要途径，也是代数学的最基本的研究工具.
1 代数系统的同态与同构的定义
1.1 同态映射及同态的定义
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定义1 一个A到A的映射?，叫做一个对于代数运算?和?来说的，A到A的同态映射，假如，在?之下，不管a和b是A的哪两个元，只要
a?a，b?b
就有 a?b?a?b
定义2 假如对于代数运算?和?来说，有一个A到A的满射的同态映射存在，我们就说，这个映射是一个同态满射，并说，对于代数运算?和?来说，A与A同态.
1.2 同构的定义
定义3 我们说，一个A与A间的一一映射?是一个对于代数运算?与?来说的，A与A间的同构映射（简称同构），假如在?之下，不管a，b是A的哪两个元，只要
a?a，b?b
就有 a?b?a?b
假如在A与A之间，对于代数运算?与?来说，存在一个同构映射，我们说，对于代数运算?与?来说，A与A同构，并且用符号A?A来表示.
1.3同态与同构的区别与联系
1）从定义上看
集合A与A同态是指A到A的一个满射，若这个映射同时又是单射，则称A与A同构. 2）一个无限集可以与它的子集同态或同构，但一个有限集只能与它的子集同态而不能同构，如：
例1 建立实数集R到正实数集R?的映射，?:x?2x，R的运算为数的加法，R?的运算为数的乘法，因为x?2x,y?2y,x?y?2x?y?2x?2y，因此该映射是R到正实数集R?的一个同态映射，由于该映射是一一映射，因而也是一个同构映射.
关于代数系统的同态有以下定理
定理1 假定对于代数运算?和?来说，A与A同态.那么，（1）若?适合结合律，?也适
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合结合律；（2）若?适合交换律，?也适合交换律.
定理2 假定?，?都是集合A的代数运算，?，?都是集合A的代数运算，并且存在一个A到A的满射?，使得A与A对于代数运算?，?来说同态，对于代数运算?，?来说也同态.那么，（1）若?，?适合第一分配律，?，?也适合第一分配律；(2)若?，?适合第二分配律，?，?也适合第二分配律.
2 群的同态与同构
2.1群的同态与同构的定义
定义4 给定群?G,??和群?G,??，称群G到群G的一个映射?：G?G是群G到群G的一个同态映射（简称同态），如果对任意a，b?G，有
??a?b????a????b?
当?是单（满）射时，称?为单（满）同态；当?是一一映射时，称?为G与G间的同构映射（简称同构，记为G?G）；当?是群G到群G的一个同态时，令
ker?={x?G|??x??e，e是G的单位元}
称ker?为?的核.
2.2同态与同构在群中的应用
群的同构是一个等价关系，彼此同构的群具有完全相同的性质.通过对群的比较,从而揭示出两个群的某些共同性质,以至区别二者的不同.在群论中，主要研究本质上不同的群之间的关系.
对于同构的群G与G,我们认为G与G是代数相同的,对于近世代数所研究的问题来说,除了符号与名称上的区别之外,二者没有实质的差异.
如：循环群的结构定理：设G?(a)是由生成元a生成的循环群， 如果|a|??，那么G?Z. 如果|a|?n，那么G?Zn.
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用代数同构观点看，循环群只有二个.一个是整数加群Z，另一个是模n的剩余类加群
Zn.
设G??a?是循环群，若a是无限阶元素，则G与整数加群同构；若a的阶是一个有限整数n，那么G与模n剩余类加群同构.所以循环群的存在问题，数量问题，构造问题已彻底解决.
定理3 设G为群，G为一个带有乘法运算的非空集合，若存在?:G?G为满同态映射，则G也是一个群.（该定理提供了一个借助已知群判定群的方法）
定理4 设?是群G到群G的一个同态满射. (1)若e是G的单位元，则?(e)是G的单位元； (2)G的元a的逆元a?1的象是a的象的逆元，即?(a?1)?[?(a)]?1；
(3)a的象的阶整除a的阶.
定理5 设G为群，而N是G的任一个不变子群，那么必有群同态满射?:G?G其中：?x?G，?(x)?xN.
群G的每个商群都为G的同态象.而且通过N将这个同态关系表现出来.于是由同态象的意义（传递性）知：G的每个商群GN都会在某些方面有些象G，进而，可由商群GN的某些性质去推测群G的一些性质.一般来说，商群要比G简单些（因为GN是G的元素以N作陪集而形成的群）.
定理5的重要性还在于它具有某些完备性——G的每一个同态象就是G的商群（在同构下）
定理6：设G与G是同态的群：G~G且ker(?)?N，那么，G?N，
N?G.
按代数的观点，同构的群就是同样的群，因此，定理6表明，群G只能与它的商群同态，或者说，G的任何一个同态象G必与G的某个（且能够肯定的指明是哪个）商群一样.
注意 上述的定理5和定理6习惯统称为群的同态基本定理（FHT）.
群G与商群具有密切的联系，群的同态基本定理恰恰揭示这个内在联系.该定理确立了不变子群与商群在群的理论中的重要地位.该定理揭示了“同态象”的实质.以上是以子群和商群为基本语言，用群同态映射为纽带建立了一套同态理论.群G的同态象G可以设想是
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G的一个“粗略”的模型；忽略了G中的某些元素间的差异而又维持了其中的运算关系.
关于两个群G和G，我们有（ⅰ）G到G有单同态意味着在同构的意义下就是的一个子群；（ⅱ）G到G有满同态，则意味着G就是G的商群（在同构下）.
定理7 设?:G?G是群同态满射,于是有下列结果 (1) 若H是G的子群，则H的像??H?是G的子群. (2) 若H是G的不变子群，则H的像??H?是G的不变子群. (3) 若H是G的子群，则??1?H?是G的子群. (4) 若H是G的不变子群，则??1?H?是G的不变子群.
3 环的同态与同构
3.1环的同态与同构的定义
定义5 设?是环?R,?,??到环R,?,?的映射.如果?满足:
????a?b????a????b?, ??a?b????a????b?
则称?是一个环同态映射.其中?a,b?R.
这里的乘法运算可省略不写，即??ab????a???b?.
定义6 设R和R为环，映射?:R?R为环同态，是指对每个a,b?R，
??a?b????a????b?；??ab????a???b?
如果?是一一对应，则?叫做环R和R间的同构映射，称R和R同构，记作R?R.
3.2同态与同构在环上的应用
定理8 若存在一个R到R的满射，使得R与R对于一对加法以及一对乘法来说都同态，那么R也是一个环.
定理9 设R和R是两个环，并且R与R同态.那么，R的零元的象是R的零元，R的元a的负元的象是a的象的负元.并且，若R是交换环，那么R也是交换环；若R有单位元
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1，那么R也有单位元1，而且，1是1的象.
显然环同态满射能传递许多代数性质,但也有一些是无法传递过去的.
如可知?:Z?Z6是环同态满射,其中: ??n???n?.显然Z是整环.Z中没有零因子,但在Z6中,?2?和?3?、?4?都是零因子.再如2显然不是Z中的零因子,但??2???2?却是Z6中的零因子.设R和R是同态的两个环，若R无零因子，则R可能有零因子.这告诉我们:非零因子的象可能会是零因子.
再如例3 设R???a,b?|?a,b?Z?，在R中定义运算:
?a1,b1???a2,b2???a1?a2,b1?b2? ?a1,b1??a2,b2???a1a2,b1b2?.
可以验证: R是一个环.现作一个映射:
?:R?Z,其中, ??a,b??a
可以验证,?是一个环同态满射.由于?0,0?是R中的零元,当a?0且b?0时.有
?a,0??0,b???0,0??R中有零因子.而显然Z中没有零因子.这表明:零因子的象可能不是零
因子.
总结看，若?:R?R是环同态满射，则
（1）若R是交换环，则R也是交换环，但若R是交换环，R未必是交换环.如
?ab??a0?f1:S1?S2,?????,a,b,d?R是环同态，S2是交换环，S1却不是交换环.
0d0d????（2）若R有单位元的环，则R也是单位元的环，且1?1，但若R是有单位元的环，
?10??ab??a0?则R未必也是单位元的环，如f42:S3?S4,?S4有单位元??，????是环同态，
000000??????但S3没有单位元.
环同态满射尚不能保证传递环的全部代数性质.如果?是环同构时,其结果则不同了. 定理10 若R和R都是环,且R?R,那么?不仅能传递所有的代数性质,而且R是整环(除环,域)当且仅当R是整环(除环,域).
引理 设环同态?:R?R，则?是单同态的充要条件是ker???0?. 由引理可得
定理11 设R，R是环，?:R?R是满同态，则?是同构映射的充要条件是ker???0?. 定义7 设?:R?R是一个环同态,那么R中零元的完全原象
???1(0)?{a?R|?(a)?0}
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叫作?的核,通常记??1(0)?ker?.
例如建立映射?:Z?Zm,ker???kmk?Z?
定理12.设?:R?R是一个环同态满射,令I?ker?那么
(ⅰ) I?ker?是R的理想 (ⅱ)R?R
I定理13 设R是一个环而I是R的理想,那么必有环同态?:R?R.使得?是满同态
I且模ker??I.称这样的?为环的自然同态.
注意 上述定理12和定理13通称为环的同态基本定理.同时表明:环R的任何商环RI都是R的同态象.而环R的任何同态象实质上只能是R的一个商环.
结 论
以上分析总结了同态与同构在群论、环论中的应用，通过总结可以发现同态与同构在理论研究中的重要作用，表现在以下几个方面：
1）便于代数系统的分类
研究各种代数体系就是要解决这些代数体系的下面三个问题：存在问题；数量问题以及结构问题.如果这些问题都得到完满的解答就算达到了目的.研究群时，需要明白共有多少个不同的群，每个群的结构如何，结构相同的群如何对待等.对群进行比较时,采用的主要工具就是同态和同构. 群的同构是一个等价关系，彼此同构的群具有完全相同的性质.通过对群的比较,从而揭示出两个群的某些共同性质,以至区别二者的异同.在群论中，主要研究本质上不同的群之间的关系，所以同构在群的研究中是具有重要意义的基本观念,同时也是一个实践性很强的基本方法.对于同构的群G与G,我们认为G与G是代数相同的,因为这是对于近世代数所研究的问题来说,除了符号与名称上的区别之外,二者没有实质的差异.
再如：循环群的结构定理指出：用代数同构观点，循环群只有二个.一个是整数加群Z，另一个是模n的剩余类加群Zn.这就给循环群的研究带来了极大的方便.
因此按近世代数的观点：彼此同构的群只是在表达元素的符号与运算方法的符号及名称中有区别.于是，只要掌握了当中的任何一个，那么另一个也就能完全把握住了，而这些区别对于我们讨论，研究问题的宗旨——群的代数性质来说是无关紧要的.一般地，设?:
G?G是群同构映射,那么?的逆映射??1:G?G也是群的同构映射. 而且在群之间的
同构“?”作为关系时，“?”必是一个等价关系.基于这样的认识，群论的基本课题就是
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把群按同构关系分类；对每一个同构的群类确定它的代数结构.如所有含三个元素的群都是同构的，都是循环群，因此我们说三阶群只有一个.而四阶群只有两个：一个是循环群，一个是非循环群.
2）便于代数结构之间的比较
如前面定理3和定理8，设G与G同态，若G是群（环），则G也是群（环）. 又如定理7，群G与群G同态，若H是G的子群（不变子群），那么H也是G的子群（不变子群），反之也成立.
再如定理11，设R与R是同构的两个环，若R是整环（除环，域），那么R也是整环（除环，域）.
3）代数集合自身的性质
如前面定理1，设A与A同态，若?适合结合律（交换律），?也适合结合律（交换律）. 又如定理2，设A与A同态，若?，?适合第一（二）分配律，?，?也适合第一（二）分配律.
参 考 文 献
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