，

，所以，

等式两边平方得

，

，

化简得【点睛】

，由于，解得，故选D．

本题主要考查球体的性质，以及球与平面相切的性质、二面角的性质，考查了转化思想与空间想象能力，属于难题．转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将空间问题转化为平面问题是解题的关键.

二、填空题

13．若满足，则的最小值为______．

【答案】

【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】

画出约束条件对应的平面区域如下图示：

由，可得，

将变形为，

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平移直线，

由图可知当直经过点时，

直线在轴上的截距最大，

此时，目标函数【点睛】

有最小值：，故答案为．

本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 14．正六边形

的边长为1，则

______．

【答案】

【解析】根据正六边形的性质可得角是

是边长为

的正三角形，且

，

的夹

，由平面向量数量积公式可得结果．

【详解】

由正六边形的性质可得因为

是边长为

，

的夹角是

，

的正三角形，所以

，

故答案为． 【点睛】

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本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．平面向量数量积公式有两种形式，一是

，二是

.

15．学校在高一年级开设选修课程，其中历史开设了三个不同的班，选课结束后，有5名同学要求改修历史，但历史选修班每班至多可接收2名同学，那么安排好这5名同学的方案有______种用数字作答 【答案】90

【解析】安排好这5名同学分2步进行：

将5名同学分成1、2、2的三组，

将分

好的3组全排列，对应3个班级，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】

根据题意，分2步进行分析：

，将5名同学分成1、2、2的三组，有，将分好的3组全排列，对应3个班级，有则安排好这5名同学的方案故答案为90． 【点睛】

种；

种分组方法； 种情况，

本题主要考查分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.

16．若函数围为______．

在上单调递增，则实数的取值范

【答案】

【解析】函数在上单调递增，等价于在

上恒成立，设,,可化为第 11 页 共 22 页

在时恒成

立，进而可得结果. 【详解】

函数则

．

，

函数在上单调递增，

等价于设则

在,

上恒成立，

,

在

等价于即

上恒成立，

， 在

时恒成立，

因为，所以，

实数的取值范围为．

故答案为【点睛】

．

本题主要考查利用导函数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间

上是单调

或

的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式

恒成立问题求参数范围．

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