专题2.3 平面向量中范围、最值等综合问题
一．方法综述
平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合． 二．解题策略
类型一 与向量的模有关的最值问题
rrrrrrrrrrrr【例1】【2018河北定州中学模拟】设向量a,b,c满足a?b?2， a?b??2， ?a?c,b?c>?60?，则c的最大值等于（ ）
A. 4 B. 2 C. 2 D. 1 【答案】A
【指点迷津】由已知条件得四点共圆是解题关键，从而转化为求外接圆直径处理. 【举一反三】
01、【2018辽宁沈阳东北育才学模拟】在Rt?ABC中， ?A?90，点D是边BC上的动点，且
uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvAB?3,AC?4,AD??AB??AC(??0,??0)，则当??取得最大值时， AD的值为（ ）
A.
7125 B. 3 C. D. 252【答案】D
vvvvvvv1vv2、【2018湖南长沙市长郡中学模拟】已知向量a,b满足： a?b?1，且a?b?，若c?xa?yb，其中x?0，
2y?0且x?y?2，则c的最小值是__________．
【答案】3 vvvvv2vv2v2vv1vv2v2【解析】Qa?b?1，且a?b?，当c?xa?yb时， c?xa?2xya?b?yb，
2?x?y?又x?0,y?0且x?y?2,?xy??当且仅当x?y?1时取“=”， ?x?xy?y??x?y??xy，??1，
?2?22222vv?x?y?2的最小值是3，故答案为3. ?c2??x?y????2?1?3,?c??2?vvvvvvvv3、【2018浙东北联盟联考】已知向量a,b,c，满足a?1,b?2,c?3， 0???1，若b?c?0，则
2vvva??b??1???c的最大值为_________，最小值为__________．
【答案】 4
613?1 13vvvvvvvv【解析】设n??b??1???c,a??b??1???c?a?n，
vvvvvvn?a?a?n?n?a，即
vvvvn?1?a?n?n?12，
vv2vv2v2v2v2n??b??1???c??2b??1???c?2??1???bc
，
由
二
次
函
数
性
质
可
得
，
?4?2?9?1????13?2?18??9?0???1?v6613v613v2vvvvvv?n?9,?n?3,?1?n?1?a?n?n?1?4， ?a??b??1???c，最大值为4，最小131313值为613613?1，故答案为4， ?1. 1313类型二 与向量夹角有关的范围问题
【例2】已知向量OA与OB的夹角为?，OA?2,OB?1,OP?tOA,OQ?(1?t)OB,PQ在t0时取得最小值，
?????????1时，夹角?的取值范围为________________. 5uuuruuur
【分析】将PQ表示为变量t的二次函数PQ?(5?4cos?)t2?(?2?4cos?)t?1，转化为求二次函数的最小值
当0?t0?问题，当t0?11?2cos?时，取最小值，由已知条件0?t0?，得关于夹角?的不等式，解不等式得解．
55?4cos?【指点迷津】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解． 【举一反三】
?????2?2????1、非零向量a,b满足2a?b=ab，|a|?|b|?2，则a与b的夹角的最小值是 ．
【答案】
? 3
r2r2rrrrrrr1r2r2rr2【解析】由题意得a?b?ab，a?b?4，整理得a?b?4?2a?b?2a?b，即a?b?1
2rrrrrra?b1rr1??cosa,b?rr?a?b?，??a,b??，夹角的最小值为
233ab2??2、已知向量=（－2，－1），=（λ，1），则与的夹角θ为钝角时，λ的取值范围为（ ）
A. B. C. 且λ≠2 D. 无法确定
【答案】C
【解析】∵与的夹角θ为钝角，∴=－2λ－1＜0，解得λ＞，
又当λ=2时，满足向量∥，且反向，此时向量的夹角为180°，
不是钝角，故λ的取值范围为λ＞类型三 与向量投影有关的最值问题
，且λ≠2.故选C.
uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv【例3】设OA?1,OB?2， OA?OB?0， OP??OA??OB，且????1，则OA在OP上的投影的取
值范围( ) A. ?-?25??25??5??5? B. C. D. ????5,1??5,1??5,1??-5,1?
????????【答案】D
当λ?0时， x?0,