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绝密★启用前
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2019 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学 全国 II 卷
R， L2 点到月球的距离为 r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，地月连线的延
_
： - 号 - 学 -
_
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长线上．设地球质量为
M１ ，月球质量为 M２ ，地月距离为
r 满足方程：
R， L2 点到月球的距
本试卷共 23 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟
离为 r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，
(适用地区：内蒙古 / 黑龙江 /辽宁 /吉林 /重庆 /陕西 / 甘肃 /宁夏 /青海 /新疆 / 西藏 /海南 )
注意事项：
M1
2
M 2
2
_ -
1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
(R r ) 3 .
M1 R
(Rr)r_ -
__
_
_ _
-
_
_
_ _ 线_ 封_ _
密__
_ -
： 名-
姓 - -
- 班
__
-
_
_ _- _
_
-
年
__ -
_
_
__ 线_
封密__
__ - _
_ - __ _
_
- _
_
_ - _
_ _ -
_
_ _ - _
-
： 校 - 学 -
2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在
答题卡上。写在本试卷上无效。
3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选
项中，
只有一项是符合题目要求的。
2
1．设集合 A={ x|x -5x+6>0} ， B={ x|x-1<0} ，则 A∩B=
A ． (-∞， 1)
B ． (-2， 1)
C．(-3 ， -1)
D． (3， +∞)
2
．设 z=-3+2i ，则在复平面内 z对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3
．已知 AB =(2,3) ， AC =(3 ，t)， BC =1，则 AB BC
=
A．-3
B．-2 C． 2 D． 3
4． 2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，
我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键
技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中
继星 “鹊桥
”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日
L2 点的轨道运行． L2 点是平衡点，
位于地月连线的延长线上．设地球质量为
M１，月球质量为 M２ ，地月距离为
-1-
设
r ，由于 的值很小，因此在近似计算中
3 3
3
45
3 3
，则
R
(1 ) 2
r 的近似值为
M
M
3M
A ．
2
R
B ．
2
R
C．
3
2
R
D ．
3
M
2 R
M 1
2M 1
M 1
3M 1
5．演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从
9 个原始评分中去掉 1 个最高分、 1 个最低分， 得到 7 个有效评分 .7 个有效评分
与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数
B ．平均数
C．方差
D．极差
6．若 a>b，则
A ． ln(a- b)>0
B ．3a
<3
b
C． a3- b3
>0
D ． │a│ >│b│
7．设 α， β为两个平面，则
α∥ β的充要条件是
A ． α内有无数条直线B ．α内有两条相交直线β平与
β平行
与
行
D ．α，β垂直于同一平C． α， β平行于同一条直线
面
2
8．若抛物线 y =2px(p>0) 2
的焦点是椭圆x
2
y
1 的一个焦点，则
p=
3p
p
-2-
一、
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A ．2
B． 3
C． 4
D． 8
9．下列函数中，以
为周期且在区间 ( ， )单调递增的是
2
4
2
A ．f(x)= │ cos x2│ B ． f(x)= │ sin 2x│ C．f(x)=cos │x│
D ． f(x)= sin x│
10．已知 α∈ (0， )， 2sin 2α=cos 2α+1，则 sin α=
2
A ．1
B ．
55
5
C．
3
D ． 2
5
3
5
2
2
11．设 F 为双曲线 C：xy
的右焦点，
a
2
0,b 0) O 为坐标原点， 以 OF
b
2
1(a
为直径的圆与圆2
2
x
2
y a 交于 P，Q 两点 .若 PQ OF ，则 C 的离心率
为
A ． 2
B ． 3 C． 2
D ．
5
12．设函数 f ( x) 的定义域为 R ，满足 f (x 1)
2 f ( x) ，且当 x (0,1] 时，
f (x )8
x(x 1) .若对任意 x (
, m] ，都有 f ( x)
9，则 m 的
取值范围是
A ．
,9
B ．7
,
4
3
C．
,5
D ．8,
2
3
-3-
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13 ．我国高铁发展迅速，技术先进
.经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车
次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为
0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 __________.x 0 14 ．已知 f ( x) 是奇函数，且当
时， ax
. 若 f (ln 2) 8 ，则 a ( )
fe
x
__________.
π
15．△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c .若 b 6, a 2c, B
3 ，则 △ABC
的面积为 __________.
16．中国有悠久的金石文化， 印信是金石文化的代表之一
.印信的形状多为长方体、
“ ”
正方体或圆柱体， 但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是
半正多面体 （图
1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体
.半正多面体体现
了数学的对称美 .图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体， 它的所有顶点都在同一
个正方体的表面上， 且此正方体的棱长为
1.则该半正多面体共有 ________个面，
其棱长为 _________. （本题第一空 2 分，第二空 3 分 .）
-4-
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三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第
17~21 题
18．（ 12 分）
11 分制乒乓球比赛，每赢一球得
为必考题， 每个试题考生都必须作答。 第 22、23 题为选考题， 考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。 17．（ 12 分）
1 分，当某局打成 10:10 平后，每球交换发
球权，先多得 2 分的一方获胜， 该局比赛结束 .甲、乙两位同学进行单打比赛，
如图， 长方体 ABCD –A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形， 点 E 在棱 AA1 上， BE 假设甲发球时甲得分的概率为
0.5，乙发球时甲得分的概率为
0.4，各球的结果
⊥ EC1.
（ 1）证明： BE⊥平面 EB1 C1；
（ 2）若 AE=A 1E，求二面角 B–EC–C1 的正弦值 .
-5-
相互独立 .在某局双方 10:10 平后，甲先发球，两人又打了
X 个球该局比赛结
束 .
（ 1）求 P（ X=2 ）；
（ 2）求事件 “X=4 且甲获胜 ”的概率 .
-6-
12B-SX-0000020 19．（ 12 分）
已知数列
.
20．（ 12 分）
{ an} 和 { bn} 满足 a1=1，b1=0， 4an 13an bn
4 ，
x 1
已知函数 f xln x
x 1
（ 1）讨论 f(x)的单调性，并证明
4bn 1 3bn an 4.
（ 1）证明： { an+bn} 是等比数列， { an–bn} 是等差数列； （ 2）求 { an} 和 { bn} 的通项公式 .
f(x)有且仅有两个零点；
（ 2）设 x0 是 f(x)的一个零点，证明曲线
y=ln x 在点 A(x0， ln x0)处的切线也是
曲线 y e 的切线 .
x
-7- -8-