2020版高考数学一轮复习第12章选修4系列第1讲课后作业理含解析 下载本文

高考数学一轮复习第12章选修4系列:

第12章 选修4系列 第1讲

A组 基础关

π?π?3??1.在极坐标系中,已知圆C经过点P?2,?,圆心为直线ρsin?θ-?=-与4?3?2??极轴的交点,求圆C的极坐标方程.

π?3?解 在ρsin?θ-?=-中,

3?2?

令θ=0,得ρ=1,所以圆C的圆心坐标为(1,0). π??因为圆C经过点P?2,?,

4??所以圆C的半径PC=

2

2

π2

+1-2×1×2cos=1,

4

于是圆C过极点,所以圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ.

π?2?2.设M,N分别是曲线ρ+2sinθ=0和ρsin?θ+?=上的动点,求M,N的最4?2?小距离.

π?2?解 因为M,N分别是曲线ρ+2sinθ=0和ρsin?θ+?=上的动点,即M,N4?2?分别是圆x+y+2y=0和直线x+y-1=0上的动点,要求M,N两点间的最小距离,即在直线x+y-1=0上找一点到圆x+y+2y=0的距离最小,即圆心(0,-1)到直线x+y-1|0-1-1|

=0的距离减去半径,故最小值为-1=2-1.

2

3.(2019·甘肃省会宁二中模拟)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程是

2

2

2

2

?x=t,?

?y=3t

(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线

C的极坐标方程为ρ2cos2θ+ρ2sin2θ-2ρsinθ-3=0.

(1)求直线l的极坐标方程;

(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求AB的长.

?x=t,

解 (1)由?

?y=3t,

得y=3x,

∴在平面直角坐标系中,

π

直线l经过坐标原点,倾斜角是,

3

π

因此,直线l的极坐标方程是θ=(ρ∈R).

(2)把θ=代入曲线C的极坐标方程

3

ρ2cos2θ+ρ2sin2θ-2ρsinθ-3=0,得

1

ρ2-3ρ-3=0,

由一元二次方程根与系数的关系,得

ρ1+ρ2=3,ρ1ρ2=-3,

∴|AB|=|ρ1-ρ2|==

3

2

ρ1+ρ2

2

-4ρ1ρ2

-4×-3=15.

4.在直角坐标系xOy中,圆C1的参数方程为

?x=3+3cosφ1,?

?y=3sinφ1

2

??x=cosφ2,

(φ1是参数),圆C2的参数方程为?

??y=1+sinφ2

(φ2是参

数),以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求圆C1,圆C2的极坐标方程;

(2)射线θ=α(0≤α<2π)同时与圆C1交于O,M两点,与圆C2交于O,N两点,求|OM|+|ON|的最大值.

解 (1)圆C1:(x-3)+y=3,圆C2:x+(y-1)=1,故圆C1:ρ=23cosθ,圆

2

2

2

C2:ρ=2sinθ.

(2)当θ=α时,点M的极坐标为(23cosα,α),点N的极坐标为(2sinα,α),∴|OM|+|ON|=23cosα+2sinα,

π?ππ7π?∴|OM|+|ON|=4sin?α+?,∵≤α+<,

3?333?πππ

∴当α+=,即α=时,|OM|+|ON|取得最大值4.

326

B组 能力关

1.以直角坐标系中的原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,已知曲线C的2

极坐标方程为ρ=.

1-sinθ(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;

(2)过极点O作直线l交曲线C于点P,Q,若|OP|=3|OQ|,求直线l的极坐标方程. 解 (1)∵ρ=x+y,ρsinθ=y, ∴ρ=

2

化为ρ-ρsinθ=2,

1-sinθ2

2

2

∴曲线的直角坐标方程为x=4y+4.

(2)设直线l的极坐标方程为θ=θ0(ρ∈R), 22

根据题意=3·,

1-sinθ01-sinθ0+ππ5π

解得θ0=或θ0=,

66

π5π

∴直线l的极坐标方程为θ=(ρ∈R)或θ=(ρ∈R).

66

2.(2018·贵州适应性测试)在以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ,曲线C2的极坐标方程为ρcosθ=sinθ.

2

2

(1)求曲线C2的直角坐标方程; (2)过原点且倾斜角为α?

?π<α≤π?的射线l与曲线C,C分别相交于A,B两点(A,B12

4??6?

2

异于原点),求|OA|·|OB|的取值范围.

解 (1)由曲线C2的极坐标方程为ρcosθ=sinθ, 两边同乘以ρ,得ρcosθ=ρsinθ, 故曲线C2的直角坐标方程为x=y.

ππ

(2)射线l的极坐标方程为θ=α,<α≤,

64把射线l的极坐标方程代入曲线C1的极坐标方程得 |OA|=ρ=4cosα,

把射线l的极坐标方程代入曲线C2的极坐标方程得 |OB|=ρ=

sinα, 2

cosαsinα=4tanα. 2

cosα2

2

2

∴|OA|·|OB|=4cosα·

ππ?43?∵<α≤,∴|OA|·|OB|的取值范围是?,4?. 64?3?

3.在直角坐标系xOy中,直线C1:x=0,圆C2:(x-1)+(y-1-2)=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求C1,C2的极坐标方程;

π

(2)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C1与C2的交点为A,C2与C3的交点为

4

2

2

B,求△OAB的面积.

解 (1)因为x=ρcosθ,y=ρsinθ, 所以C1的极坐标方程为ρcosθ=0,即θ=2ρcosθ-2(1+2)ρsinθ+(3+22)=0.

π22

(2)将θ=代入ρ-2ρcosθ-2(1+2)ρsinθ+(3+22)=0,得ρ-2(1+

22)ρ+(3+22)=0, 解得ρ1=1+2.

π2

将θ=代入ρ-2ρcosθ-2(1+2)ρsinθ+(3+22)=0,

4得ρ-2(1+2)ρ+(3+22)=0,

12

解得ρ2=1+2.故△OAB的面积为×(1+2)×

2π32sin=1+. 44

4.(2018·郑州模拟)在极坐标系中,曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρ=-2cosθ,

2

π2

(ρ∈R),C2的极坐标方程为ρ-2

3

ρcos?θ+?=1.

3

??

π??

(1)求曲线C1和C2的公共点的个数;

(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q,在OQ上取一点P,使|OP|·|OQ|=2,求点P的轨迹,并指出轨迹是什么图形.

解 (1)C1的直角坐标方程为(x+1)+y=1,它表示圆心为(-1,0),半径为1的圆,

2

2

C2的直角坐标方程为x-3y-2=0,所以曲线C2为直线,由于圆心到直线C2的距离为d=

3

>1,所以直线与圆相离,即曲线C1和C2没有公共点. 2

??ρρ0=2,

(2)设Q(ρ0,θ0),P(ρ,θ),则?

??θ=θ0,

2??ρ0=,ρ即???θ0=θ.

因为点Q(ρ0,θ0)在曲线C2上, π??所以ρ0cos?θ0+?=1,②

3??π?2?将①代入②,得cos?θ+?=1,

3?ρ?

π?3?2??1?2?即ρ=2cos?θ+?为点P的轨迹方程,化为直角坐标方程为?x-?+?y+?=1,

3???2??2?3??1

因此点P的轨迹是以?,-?为圆心,1为半径的圆.

2??2

4