高考数学一轮复习第12章选修4系列：
第12章 选修4系列 第1讲
A组 基础关
π?π?3??1．在极坐标系中，已知圆C经过点P?2，?，圆心为直线ρsin?θ－?＝－与4?3?2??极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
π?3?解 在ρsin?θ－?＝－中，
3?2?
令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)． π??因为圆C经过点P?2，?，
4??所以圆C的半径PC＝
2
2
π2
＋1－2×1×2cos＝1，
4
于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.
π?2?2．设M，N分别是曲线ρ＋2sinθ＝0和ρsin?θ＋?＝上的动点，求M，N的最4?2?小距离．
π?2?解 因为M，N分别是曲线ρ＋2sinθ＝0和ρsin?θ＋?＝上的动点，即M，N4?2?分别是圆x＋y＋2y＝0和直线x＋y－1＝0上的动点，要求M，N两点间的最小距离，即在直线x＋y－1＝0上找一点到圆x＋y＋2y＝0的距离最小，即圆心(0，－1)到直线x＋y－1|0－1－1|
＝0的距离减去半径，故最小值为－1＝2－1.
2
3．(2019·甘肃省会宁二中模拟)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程是
2
2
2
2
?x＝t，?
?y＝3t
(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－2ρsinθ－3＝0.
(1)求直线l的极坐标方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求AB的长．
?x＝t，
解 (1)由?
?y＝3t，
得y＝3x，
∴在平面直角坐标系中，
π
直线l经过坐标原点，倾斜角是，
3
π
因此，直线l的极坐标方程是θ＝(ρ∈R)．
3π
(2)把θ＝代入曲线C的极坐标方程
3
ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－2ρsinθ－3＝0，得
1
ρ2－3ρ－3＝0，
由一元二次方程根与系数的关系，得
ρ1＋ρ2＝3，ρ1ρ2＝－3，
∴|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝
3
2
ρ1＋ρ2
2
－4ρ1ρ2
－4×－3＝15.
4．在直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为
?x＝3＋3cosφ1，?
?y＝3sinφ1
2
??x＝cosφ2，
(φ1是参数)，圆C2的参数方程为?
??y＝1＋sinφ2
(φ2是参
数)，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆C1，圆C2的极坐标方程；
(2)射线θ＝α(0≤α<2π)同时与圆C1交于O，M两点，与圆C2交于O，N两点，求|OM|＋|ON|的最大值．
解 (1)圆C1：(x－3)＋y＝3，圆C2：x＋(y－1)＝1，故圆C1：ρ＝23cosθ，圆
2
2
2
C2：ρ＝2sinθ.
(2)当θ＝α时，点M的极坐标为(23cosα，α)，点N的极坐标为(2sinα，α)，∴|OM|＋|ON|＝23cosα＋2sinα，
π?ππ7π?∴|OM|＋|ON|＝4sin?α＋?，∵≤α＋<，
3?333?πππ
∴当α＋＝，即α＝时，|OM|＋|ON|取得最大值4.
326
B组 能力关
1．以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线C的2
极坐标方程为ρ＝.
1－sinθ(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)过极点O作直线l交曲线C于点P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直线l的极坐标方程． 解 (1)∵ρ＝x＋y，ρsinθ＝y， ∴ρ＝
2
化为ρ－ρsinθ＝2，
1－sinθ2
2
2
∴曲线的直角坐标方程为x＝4y＋4.
(2)设直线l的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R)， 22
根据题意＝3·，
1－sinθ01－sinθ0＋ππ5π
解得θ0＝或θ0＝，
66
π5π
∴直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)或θ＝(ρ∈R)．
66
2．(2018·贵州适应性测试)在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ＝sinθ.
2
2
(1)求曲线C2的直角坐标方程； (2)过原点且倾斜角为α?
?π<α≤π?的射线l与曲线C，C分别相交于A，B两点(A，B12
4??6?
2
异于原点)，求|OA|·|OB|的取值范围．
解 (1)由曲线C2的极坐标方程为ρcosθ＝sinθ， 两边同乘以ρ，得ρcosθ＝ρsinθ， 故曲线C2的直角坐标方程为x＝y.
ππ
(2)射线l的极坐标方程为θ＝α，<α≤，
64把射线l的极坐标方程代入曲线C1的极坐标方程得 |OA|＝ρ＝4cosα，
把射线l的极坐标方程代入曲线C2的极坐标方程得 |OB|＝ρ＝
sinα， 2
cosαsinα＝4tanα. 2
cosα2
2
2
∴|OA|·|OB|＝4cosα·
ππ?43?∵<α≤，∴|OA|·|OB|的取值范围是?，4?. 64?3?
3．在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝0，圆C2：(x－1)＋(y－1－2)＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
π
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C1与C2的交点为A，C2与C3的交点为
4
2
2
B，求△OAB的面积．
解 (1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ， 所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝0，即θ＝2ρcosθ－2(1＋2)ρsinθ＋(3＋22)＝0.
π22
(2)将θ＝代入ρ－2ρcosθ－2(1＋2)ρsinθ＋(3＋22)＝0，得ρ－2(1＋
22)ρ＋(3＋22)＝0， 解得ρ1＝1＋2.
π2
将θ＝代入ρ－2ρcosθ－2(1＋2)ρsinθ＋(3＋22)＝0，
4得ρ－2(1＋2)ρ＋(3＋22)＝0，
12
解得ρ2＝1＋2.故△OAB的面积为×(1＋2)×
2π32sin＝1＋. 44
4．(2018·郑州模拟)在极坐标系中，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ＝－2cosθ，
2
π2
(ρ∈R)，C2的极坐标方程为ρ－2
3
ρcos?θ＋?＝1.
3
??
π??
(1)求曲线C1和C2的公共点的个数；
(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q，在OQ上取一点P，使|OP|·|OQ|＝2，求点P的轨迹，并指出轨迹是什么图形．
解 (1)C1的直角坐标方程为(x＋1)＋y＝1，它表示圆心为(－1，0)，半径为1的圆，
2
2
C2的直角坐标方程为x－3y－2＝0，所以曲线C2为直线，由于圆心到直线C2的距离为d＝
3
>1，所以直线与圆相离，即曲线C1和C2没有公共点． 2
??ρρ0＝2，
(2)设Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，则?
??θ＝θ0，
2??ρ0＝，ρ即???θ0＝θ.
①
因为点Q(ρ0，θ0)在曲线C2上， π??所以ρ0cos?θ0＋?＝1，②
3??π?2?将①代入②，得cos?θ＋?＝1，
3?ρ?
π?3?2??1?2?即ρ＝2cos?θ＋?为点P的轨迹方程，化为直角坐标方程为?x－?＋?y＋?＝1，
3???2??2?3??1
因此点P的轨迹是以?，－?为圆心，1为半径的圆．
2??2
4