五、解答题（10分）

23．（10分）某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种商品每次降价的百分率；

（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3120元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？ 六、解答题（8分）

24．（8分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD

（1）求∠AOD的度数；

（2）求证：四边形ABCD是菱形．

七、解答题（8分）

25．（8分）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF．连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC．

（1）请判断：FG与CE的数量关系是 ，位置关系是 ；

（2）如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；

（3）如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．

八、解答题（10分）

26．（10分）在等边△ABC中，点D为AC上一点，连接BD，直线l与AB，BD，BC分别相交于点E，P，F，且∠BPF＝60度．

（1）如图1，写出图中所有与△BPF相似的三角形，并选择其中一对给予证明；

（2）若直线l向右平移到图2，图3的位置时（其它条件不变），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由；

（3）探究：如图1，当BD满足什么条件时（其它条件不变），PF＝（说明：结论中不得含有未标识的字母）

PE？请写出探究结果，并说明理由．

2019-2020学年辽宁省辽阳市灯塔市九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10个小题，每小题2分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．【解答】解：从左边看第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，第三层一个小正方形， 故选：A．

2．【解答】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，本说法是真命题； ②两直线平行，内错角相等，本说法是假命题；

③对角线互相垂直的平行四边形是菱形，本说法是假命题； ④矩形的对角线相等，本说法是真命题； 故选：B．

3．【解答】解：把方程x2﹣4x+2＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x＝﹣2， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4＝﹣2+4， 配方得（x﹣2）2＝2． 故选：A．

4．【解答】解：∵在△ABC中，DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴AD：AB＝DE：BC， ∵AD：DB＝2：3， ∴AD：AB＝2：5， 即2：5＝DE：BC， ∵DE＝4cm， ∴BC＝10cm． 故选：B．

5．【解答】解：A、∵1×（﹣1）＝﹣1≠1，∴点（1，﹣1）不在反比例函数y＝B、∵k＝1＞0，∴反比例函数y＝C、∵函数y＝

的图象在一、三象限，故本选项错误；

的图象上，故本选项错误；

是反比例函数，∴此函数的图象是中心对称图形，故本选项正确；

D、∵k＝1＞0，∴此函数在每一象限内y随x的增大而减小，故本选项错误． 故选：C．

6．【解答】解：设应该向盒子中再放入x个其他颜色的球， 根据题意得：解得：x＝4，

经检验，x＝4是原分式方程的解． 故选：A．

7．【解答】解：设树高为x米， 因为所以

＝

＝，

，

＝

，

解得：x＝9.6．

答：这棵树的高度为9.6米． 故选：B．

8．【解答】解：∵菱形的周长是20cm， ∴边长为20÷4＝5cm， ∵两条对角线的比是4：3， ∴设菱形的两对角线分别为8x，6x，

根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分， 则对角线的一半分别为4x，3x， 根据勾股定理得，（4x）2+（3x）2＝52， 解得x＝1，

所以，两对角线分别为8cm，6cm， 所以，这个菱形的面积＝故选：D．

9．【解答】解：∵正方形纸片ABCD的边长为3， ∴∠C＝90°，BC＝CD＝3，

根据折叠的性质得：EG＝BE＝1，GF＝DF，

×8×6＝24cm2．