高等数学电子教案word

【篇一：同济第六版《高等数学》教案word版-第01

章 函数与极限】

第一章函数与极限 教学目的：

1、 理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

2、 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3、 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、 掌握基本初等函数的性质及其图形。

5、 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。

6、 掌握极限的性质及四则运算法则。

7、 了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。

8、 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

9、 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点：

1、 复合函数及分段函数的概念； 2、 基本初等函数的性质及其图形；

3、 极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、 两个重要极限；

5、 无穷小及无穷小的比较；

6、 函数连续性及初等函数的连续性； 7、 区间上连续函数的性质。 教学难点：

1、分段函数的建立与性质；

2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类；

5、闭区间上连续函数性质的应用。 1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念

集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用a, b, c….等表示.元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合m的元素表示为a m. 集合的表示:

列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如a={a, b, c, d, e, f, g}.

描述法: 若集合m是由元素具有某种性质p的元素x的全体所组成, 则m可表示为 a={a1, a2, ? ? ?, an}, m={x | x具有性质p }.

例如m={(x, y)| x, y为实数, x2+y2=1}. 几个数集:

n表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集.

n={0, 1, 2, ? ? ?, n, ? ? ?}. n+={1, 2, ? ? ?, n, ? ? ?}. r表示所有实数构成的集合, 称为实数集. z表示所有整数构成的集合, 称为整数集.

z={? ? ?, -n, ? ? ?, -2, -1, 0, 1, 2, ? ? ?, n, ? ? ?}. q表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. p q={|p∈z,q∈n+且p与q互质} q

子集: 若x∈a, 则必有x∈b, 则称a是b的子集, 记为a?b(读作a包含于b)或b?a .如果集合a与集合b互为子集, a?b且b?a, 则称集合a与集合b相等, 记作a=b.若a?b且a≠b, 则称a是b的真子集, 记作a?≠b . 例如, n?≠z?≠q?≠r.

不含任何元素的集合称为空集, 记作?. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算

设a、b是两个集合, 由所有属于a或者属于b的元素组成的集合称为a与b的并集(简称并), 记作a?b, 即 a?b={x|x∈a或x∈b}.

设a、b是两个集合, 由所有既属于a又属于b的元素组成的集合称为a与b的交集(简称交), 记作a?b, 即

a?b={x|x∈a且x∈b}.

设a、b是两个集合, 由所有属于a而不属于b的元素组成的集合称为a与b的差集(简称差), 记作a\\b, 即 a\\b={x|x∈a且x?b}.

如果我们研究某个问题限定在一个大的集合i中进行, 所研究的其他集合a都是i的子集. 此时, 我们称集合i为全集或基本集. 称i\\a为a的余集或补集, 记作ac. 集合运算的法则:

设a、b、c为任意三个集合, 则 (1)交换律a?b=b?a, a?b=b?a;

(2)结合律 (a?b)?c=a?(b?c), (a?b)?c=a?(b?c);

(3)分配律 (a?b)?c=(a?c)?(b?c), (a?b)?c=(a?c)?(b?c); (4)对偶律 (a?b)c=ac ?bc, (a?b)c=ac ?bc. (a?b)c=ac ?bc的证明:

x∈(a?b)c?x?a?b?x?a且x?b?x∈a c且x∈bc ?x∈ac ?bc, 所以(a?b)c=ac ?bc.直积(笛卡儿乘积):

设a、b是任意两个集合, 在集合a中任意取一个元素x, 在集合b中任意取一个元素y, 组成一个有序对(x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合a与集合b的直积, 记为a?b, 即 a?b={(x, y)|x∈a且y∈b}.

例如, r?r={(x, y)| x∈r且y∈r }即为xoy面上全体点的集合, r?r常记作r2.

3. 区间和邻域 有限区间:

设ab, 称数集{x|axb}为开区间, 记为(a, b), 即 (a, b)={x|axb}. 类似地有

[a, b] = {x | a ≤x≤b }称为闭区间,

[a, b) = {x | a≤xb }、(a, b] = {x | ax≤b }称为半开区间.

其中a和b称为区间(a, b)、[a, b]、[a, b)、(a, b]的端点, b-a称为区间的长度. 无限区间:

[a, +∞) = {x | a≤x }, (-∞, b] = {x | x b } , (-∞, +∞)={x | | x | +∞}. 区间在数轴上的表示:

邻域: 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作u(a). 二、映射

1. 映射的概念

定义 设x、y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使得对x中每个元素x, 按法则f, 在y中有唯一确定的元素y与之对应, 则称f为从x到y的映射, 记作 f : x→y ,

其中y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作f(x), 即 y=f(x),

而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像; 集合x称为映射f的定义域, 记作d f, 即 d f=x ;

x中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域, 记为r f, 或f(x), 即

r f=f(x)={f(x)|x∈x}. 需要注意的问题:

(1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合x, 即定义域d f=x; 集合y, 即值域的范围: r f ?y; 对应法则f, 使对每个x∈x, 有唯一确定的y=f(x)与之对应.

(2)对每个x∈x, 元素x的像y是唯一的; 而对每个y∈r f, 元素y的原像不一定是唯一的; 映射f的值域r f是y的一个子集, 即r f ?y, 不一定r f=y .

例1设f : r→r, 对每个x∈r, f(x)=x2.

显然, f是一个映射, f的定义域d f=r, 值域r f ={y|y≥0}, 它是r的一个真子集. 对于r f 中的元素y, 除y=0外, 它的原像不是唯一的. 如y=4的原像就有x=2和x=-2两个.

例2设x={(x, y)|x2+y2=1}, y={(x, 0)||x|≤1}, f : x →y, 对每个(x, y)∈x, 有唯一确定的(x, 0)∈y与之对应.

显然f是一个映射, f的定义域d f=x, 值域r f =y. 在几何上, 这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间[-1, 1]上.

(3) f :[-, ]→[-1, 1], 对每个x∈[-, ], f(x)=sin x . 2222 f是一个映射, 定义域d f =[-, ], 值域r f =[-1, 1]. 22 满射、单射和双射:

设f是从集合x到集合y的映射, 若r f =y, 即y中任一元素y都是x中某元素的像, 则称f为x到y上的映射或满射; 若对x中任意两个不同元素x 1≠x 2, 它们的像f(x 1)≠f(x 2), 则称f为x到y的单射; 若