21．（6分）如图，在?ABCD中，AB⊥BD，P，O分别为AD，BD的中点，延长PO交BC于点Q，连结BP，DQ，求证：四边形PBQD是菱形．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD＝BC， ∴∠ABD＝∠BDC， ∵AB⊥BD，

∴∠ABD＝∠BDC＝90°， ∵AP＝PD，BQ＝QC，

∴PB＝PD＝AP，DQ＝BQ＝QC， ∴PB＝PD＝BQ＝DQ， ∴四边形PBQD是菱形．

22．（6分）某校在一次广播操比赛中，甲、乙、丙各班得分如下表：

班级 甲 乙 丙 服装统一 80 97 86 动作整齐 84 78 80 动作准确 88 80 83 （1）根据三项得分的平均分，从高到低确定三个班级排名顺序．

（2）该校规定：服装统一、动作整齐、动作准确三项得分都不得低于80分，并按50%，30%，20%的比例计入总分．根据规定，请你通过计算说明哪一组获得冠军． 【解答】解：（1）＝83（分），

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＝＝84（分）、＝＝85（分）、＝

所以从高到低确定三个班级排名顺序为：乙、甲、丙；

（2）∵乙班的“动作整齐”分数低于80分， ∴乙班首先被淘汰， 而

＝80×50%+84×30%+88×20%＝82.8（分）、83.6（分）， ∴丙班级获得冠军．

23．（8分）如图1，有一张长40cm，宽30cm的长方形硬纸片，截去四个小正方形之后，折成如图2所示的无盖纸盒，设无盖纸盒高为xcm． （1）用关于x的代数式分别表示无盖纸盒的长和宽． （2）若纸盒的底面积为600cm，求纸盒的高．

（3）现根据（2）中的纸盒，制作了一个与下底面相同大小的矩形盒盖，并在盒盖上设计了六个总面积为279cm的矩形图案A﹣F（如图3所示），每个图案的高为ycm，A图案的宽为xcm，之后图案的宽度依次递增1cm，各图案的间距、A图案与左边沿的间距、F图案与右边沿的间距均相等，且不小于0.3cm，求x的取值范围和y的最小值．

2

2

＝86×50%+80×30%+83×20%＝

【解答】解：（1）根据题意得：长＝（40﹣2x）cm， 宽＝（30﹣2x）cm，

（2）根据题意得：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600 整理得：（x﹣5）（x﹣30）＝0 解得：x1＝30（舍去），x2＝5， 纸盒的高为5cm，

（3）设各图案的间距、A图案与左边沿的间距、F图案与右边沿的间距为m， x+（x+1）+（x+2）+（x+3）+（x+4）+（x+5）+7m＝40﹣2×5， m＝

≥0.3，

解得：x≤2.15，

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根据题意得：y[x+（x+1）+（x+2）+（x+3）+（x+4）+（x+5）]＝279， y＝

，

y随着x的增大而减小，

当取到最大值时，y取到最小值， 即当x＝2.15时，y最小＝10，

x的取值范围为：x≤2.15，y的最小值为10．

24．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，DF是△ABC的中位线，点C关于DF的对称点为E，以DE，EF为邻边构造矩形DEFG，DG交BC于点H，连结CG． （1）求证：△DCF≌△FGD． （2）若AC＝2． ①求CG的长．

②在△ABC的边上取一点P，在矩形DEFG的边上取一点Q，若以P，Q，C，G为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的平行四边形的面积．

（3）在△DEF内取一点O，使四边形AOHD是平行四边形，连结OA，OB，OC，直接写出△OAB，△OBC，△OAC的面积之比．

【解答】解：（1）如图1中，

∵四边形DEFG是矩形， ∴DE＝FG，∠DGF＝90°，

由翻折不变性可知：CD＝DE，∠DCF＝∠DEF＝90°， ∴∠DCF＝∠FGD＝90°，CD＝GF，

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∵DF＝FD，

∴Rt△CDF≌Rt△GFD，

（2）①如图1中，∵Rt△CDF≌Rt△GFD， ∴CF＝DG，∠CFD＝∠GDF， ∴HD＝HF， ∴HC＝HG，

∴∠HCG＝∠HGC，∠HDF＝∠HFD， ∵∠CHG＝∠DHF， ∴∠CGH＝∠HDF， ∴CG∥DF，

∵CD＝DA，CF＝FB， ∴DF∥AB，

∵∠CFD＝∠B＝30°，

∴∠HDF＝∠CDH＝∠CGD＝30°， ∴CG＝CD＝AC＝1．

②如图2中，当点P与A重合，点Q与E重合时，四边形PQGC是平行四边形，此时S＝1×

＝

如图3中，当四边形QPGC是平行四边形时，S＝1×

＝

．

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