∴当x＝75，即售价为75元时，月利润最大，且最大月利润为2450元．

【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，需要明确销量，售价和利润之间的关系以及会由二次函数求得最大值．

七、解答题（本大题共2道题,每题12分,共24分)

24．（12分）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上一点，连接AD，分别以CD和AD为直角边作Rt△CDE和Rt△ADF，使∠DCE＝∠ADF＝90°，点E，F在BC下方，连接EF．

（1）如图1，当BC＝AC，CE＝CD，DF＝AD时， 求证：①∠CAD＝∠CDF，②BD＝EF；

（2）如图2，当BC＝2AC，CE＝2CD，DF＝2AD时，猜想BD和EF之间的数量关系？并说明理由．

【分析】（1）①根据同角的余角相等证明；

②作FH⊥BC交BC的延长线于H，证明△ACD≌△DHF，根据全等三角形的性质得到DH＝AC，结合图形证明即可；

（2）作FG⊥BC交BC的延长线于G，证明△ACD∽△DGF，根据相似三角形的性质得到DG＝2AC，证明结论．

【解答】（1）证明：①∵∠ACB＝90°， ∴∠CAD+∠ADC＝90°， ∵∠CDF+∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝∠CDF；

②作FH⊥BC交BC的延长线于H， 则四边形FECH为矩形， ∴CH＝EF，

在△ACD和△DHF中，

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，

∴△ACD≌△DHF（AAS） ∴DH＝AC， ∵AC＝CB， ∴DH＝CB，

∴DH﹣CD＝CB﹣CD，即HG＝BD， ∴BD＝EF； （2）BD＝EF，

理由如下：作FG⊥BC交BC的延长线于G， ∵∠CAD＝∠GDF，∠ACD＝∠DGF＝90°， ∴△ACD∽△DGF， ∴

＝

＝

＝2，即DG＝2AC，GF＝2CD，

∵BC＝2AC，CE＝2CD， ∴BC＝DG，GF＝CE， ∴BD＝CG，

∵GF∥CE，GF＝CE，∠G＝90°， ∴四边形FECG为矩形， ∴CG＝EF， ∴BD＝EF．

第26页（共30页）

【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交直线AB于点E． （1）求抛物线的函数表达式

（2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）如图2，F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），点G是线段AB上的动点．连接DF，FG，当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的坐标．

【分析】（1）根据y＝﹣x+3，求出A，B的坐标，再代入抛物线解析式中即可求得抛物线解析式；

（2）△BDE和△ACE相似，要分两种情况进行讨论：①△BDE∽△ACE，求得D（3）；②△DBE∽△ACE，求得D（

，

）；

），E

，

（3）由DEGF是平行四边形，可得DE∥FG，DE＝FG，设D（m，

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（m，），F（n，

+

），G（n，），根据平行四边形周长公式可

得：DEGF周长＝﹣2，由此可求得点G的坐标．

【解答】解：（1）在y＝﹣x+3中，令x＝0，得y＝3，令y＝0，得x＝4， ∴A（4，0），B（0，3），

将A（4，0），B（0，3）分别代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中，得：

，解得：

，

∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+

x+3．

），

（2）存在．如图1，过点B作BH⊥CD于H，设C（t，0），则D（t，E（t，∴EC＝

），H（t，3）；

，AC＝4﹣t，BH＝t，DH＝﹣t2+

t，DE＝﹣t2+4t

∵△BDE和△ACE相似，∠BED＝∠AEC ∴△BDE∽△ACE或△DBE∽△ACE

①当△BDE∽△ACE时，∠BDE＝∠ACE＝90°， ∴∴t（∴D（

＝

，即：BD?CE＝AC?DE

）＝（4﹣t）×（﹣t2+4t），解得：t1＝0（舍去），t2＝4（舍去），t3＝，3）

，

②当△DBE∽△ACE时，∠BDE＝∠CAE ∵BH⊥CD ∴∠BHD＝90°， ∴

＝tan∠BDE＝tan∠CAE＝

）（﹣t2+

，即：BH?AC＝CE?DH

t），解得：t1＝0（舍），t2＝4（舍），t3＝

，

∴t（4﹣t）＝（∴D（

，

）；

综上所述，点D的坐标为（，3）或（，）；

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