《复变函数》考试试题（十二）

一、判断题。（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分）

1．设复数z1?x1?iy1及z2?x2?iy2，若x1?x2或y1?y2，则称z1与z2是相等的复数。（ ）

2．函数f(z)?Rez在复平面上处处可微。 （ ） 3．sin2z?cos2z?1且sinz?1,cosz?1。 （ ）

4．设函数f(z)是有界区域D内的非常数的解析函数，且在闭域D?D??D上连续，则存在M?0，使得对任意的z?D，有f(z)?M。 （ ） 5．若函数f(z)是非常的整函数，则f(z)必是有界函数。（ ） 二、填空题。（每题2分）

1．i2?i3?i4?i5?i6? _____________________。

z??2．设z?x?iy?0，且???argarg?yarcta?n________________。

x,??2?y?arcta?n，当x?0,y?0时，

x23．若已知f(z)?x(1?1x?y2)?iy(1?21x?y22则其关于变量z的表达式为__________。 )，

4．nz以z?________________为支点。 5．若lnz?dzz?1?2i，则z?_______________。

6．?z?________________。

7．级数1?z2?z4?z6??的收敛半径为________________。 8．cosnz在z?n（n为正整数）内零点的个数为_______________。

9．若z?a为函数f(z)的一个本质奇点，且在点a的充分小的邻域内不为零，则z?a是1f(z)的________________奇点。

10．设a为函数f(z)的n阶极点，则Resz?af?(z)f(z)?_____________________。

三、计算题（50分）

1．设区域D是沿正实轴割开的z平面，求函数w?5z在D内满足条件

5?1??1的单值

连续解析分支在z?1?i处之值。 （10分）

2．求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶），并求它们留数。（15分） （1）f(z)?Lnzz?12的各解析分支在z?1各有怎样的孤立奇点，并求这些点的留数 （10分）

（2）求Resz?0ezzn?1。 （5分）

3．计算下列积分。（15分） （1）?zz?22372(z?1)(z?2)xdx(x?a)2222， dz （8分）

（2）?????。 (a?0) （7分）

4．叙述儒歇定理并讨论方程z6?6z?10?0在z?1内根的个数。（10分） 四、证明题（20分）

1．讨论函数f(z)?ez在复平面上的解析性。 （10分） 2．证明：

12?i?zeCnz?nn!??d???(znn!)。

2 此处C是围绕原点的一条简单曲线。（10分）

《复变函数》考试试题（十二）参考答案

一、判断题.

1. × 2. × 3. × 4. √ 5. × 二、填空题.

1. ?1 2. (??) 3. f(z)?z?1z 4. 0,?

2n25. i 6. 2? 7. 1 8. 9.本性 10. ?? 三、计算题.

1argz?2k?5??1

1.解：wk?z5e5i k?0,1,2,3 ,??2k?5i 由?1??1 得?1?e 从而有k?2

1??4?4?51w2(1?i)?210?ei?210(cos3?4?isin3?4)?1?i5

4

2.解：（1）f(z)?Lnzz?12的各解析分支为fk(z)?lnz?2k?z?12，(k?0,?1,?).

z?1为f0(z)的可去奇点，为fk(z)的一阶极点(k?0,?1,?)。

Res(f0(z),1)?0 Res(fk(z),?1)?k i (k??1,?2?, )（2）Resz?0ezzn?1n??1z?1?Res?n?1??? ?z?0n!n?0n!??z3.计算下列积分 解：（1）f(z)?z2372(z?1)(z?2)?z(1?11z2)(1?32z2

)Res(f,?)??C?1??1

?z?2f(z)dz?2?i[?Res(f,?)]?2?i

（2）设f(z)?z2222(z?a)z22?z222(z?ai)(z?ai)

令?(z)?(z?ai)， ??(z)?22aiz(z?ai)14a3

则Res(f,ai)???(ai)1!?2(ai)(2ai)3??i

?Imz?0f(z)dz?2?iRes(f,?ai)

2a??????xdx(x?a)2222??2a

4.儒歇定理：设c是一条围线，f(z)及?(z)满足条件： （1）它们在c的内部均解析，且连续到c； （2）在c上，f(z)??(z)

则f与f??在c的内部有同样多零点，

6z f(z)?即f(z)?10 g(z)?z?6有

g(z)

由儒歇定理知z6?6z?10?0在z?1没有根。 四、证明题

1证明：.设z?x?iy 有 f(z)?ez?ex(coys?iu(x,y)?ecosy,xxv(x,y)??esiny

syin)?u?x?ecosy,x?u?y??esiny,x?v?x??esiny,x?v?yx??ecosy

易知u(x,y)，v(x,y)在任意点都不满足C?R条件，故f在复平面上处处不解析。

n!e?1z?2.证明：于高阶导数公式得 (e)z?z?(n)??0??2?i??n?1d?

即z?n?2?i?1n!e?1?n?1ez?d?

2?zn?1?故 从而?d????n!2?in!2?i??1?n?1??zn?zC:??1nn!?n?1?ez?d?