16．如图所示，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于

B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明．

17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴相交于A（﹣3，0），

B（1，0）两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E．

（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）； （2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；

（3）设∠DEO＝β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；

（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE．设P（m，n），直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．

18．如图，二次函数y＝﹣x2﹣x的图象经过△AOB的三个顶点，其中A（1，m），B（﹣2，n）

（1）求点A，B的坐标；

（2）在第三象限存在点C，使以A、O、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求满足条件的点C的坐标；

（3）在（2）的条件下，能否将抛物线y＝﹣x2﹣x平移后经过A、C两点，若能求出平移后经过A、C两点的拋物线的表达式，并写出平移过程．若不能，请说明理由．

19．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝

+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．

（1）求二次函数的解析式及点A的坐标．

（2）点M是线段BC上的一动点，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．设点D的横坐标为m．过点D作DM⊥BC于点M，求线段DM的长关于m的函数解析式，并求线段DM的最大值．

20．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A （1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．

（1）抛物线的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ；

（2）如图1，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标； （4）如图3，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标．

参考答案

1．解：（1）∵直线y＝﹣x+3经过点A，B， ∴A（0，3），B（3，0）．

∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A，B，则∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3．

（2）设：点P的坐标为（m，m2﹣4m+3），则点F的坐标为（m，﹣m+3）． ①当点P在x轴上方时， ∵PF＝3PE，

∴﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）＝3（m2﹣4m+3）， 解得：∴

；

，m2＝3（与点B重合，舍去），

，解得：

，

②当点P在x轴下方时，

同理可得：﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）＝﹣3（m2﹣4m+3）， 解得：

，m4＝3（与点B重合，舍去）．

综上所述，m的值为或．

（3）存在，点M的坐标为（2，

）或（2，

）．

设点M（2，m），点N（n，s），则s＝n2﹣4n+3．

设抛物线的对称轴交x轴于点H，过点N作NG⊥MH交函数对称轴于点G，