§5.1 平面向量的概念及线性运算
一、选择题
1. 已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|ab|，则下面结论正确的是（ ） A.a∥bB.a⊥b
C.{0,1,3} D.a+b=ab
答案 B
2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 若a＋b＝0，则a＝－b. ∴a∥b；
若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立． 答案 A
3．设P是△ABC所在平面内的一点，→BC＋→BA＝2→BP，则( )． A.→PA＋→PB＝0 B.→PC＋→PA＝0 C.→PB＋→PC＝0 D.→PA＋→PB＋→PC＝0
解析 如图，根据向量加法的几何意义，→BC＋→BA＝2→BP?P是AC的中点，
∴→PA＋→PC＝0.答案 B
4．已知向量a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数x的值为( ) A．－3 B．2 C．4 D．－6
解析因为(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3,1)，a－2b＝(x－6,4)， ∴4(x＋3)－(x－6)＝0，x＝－6. 答案 D
→→→
5．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( )． A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对
解析 由已知→AD＝→AB＋→BC＋→CD＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2→BC. ∴→AD∥→BC，又→AB与→CD不平行， ∴四边形ABCD是梯形． 答案 C
→成立，6．已知△ABC和点M满足→MA＋→MB＋→MC＝0，若存在实数m，使得→AB＋→AC＝mAM则m＝( )． A．2 B．3 C．4 D．5
解析 ∵→MA＋→MB＋→MC＝0，∴点M是△ABC的重心， ∴→AB＋→AC＝3→AM，∴m＝3. 答案 B
7.已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA＋OB＋CO＝0，则△ABC的内角A等于( ) A．30° B．60° C．90° D．120°
解析：由OA＋OB＋CO＝0得OA＋OB＝OC，由O为△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°. 答案：A 二、填空题
|AB|8.已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若OA－3OB＋2OC＝0，则＝
|BC|________.
解析：由OA－3OB＋2OC＝0，得OA－OB＝2(OB－OC)， 即BA＝2CB，于是
|AB|
＝2. |BC|
答案：2
9．给出下列命题：
①向量→AB的长度与向量→BA的长度相等；
②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量→AB与向量→CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上． 其中不正确的个数为________． 解析 ①中，∵向量→AB与→BA为相反向量， ∴它们的长度相等，此命题正确．
②中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的方向不一定相同或相反，∴此命题错误．
③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确．
④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误． ⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若→AB与→CD是共线向量，则A，B，C，
D四点不一定在一条直线上，∴该命题错误． 答案 3
10.已知向量a,b夹角为，且a?1,2a?b?10；则b?_____. 解析
答案 32
31
11．若M为△ABC内一点，且满足→AM＝→AB＋→AC，则△ABM与△ABC的面积之比
44
为________．
解析由题知B、M、C三点共线，设→BM＝λ→BC，则：→AM－→AB＝λ(→AC－→AB)， ∴→AM＝(1－λ)→AB＋λ→AC，
1∴λ＝，
4S△ABM1∴＝. S△ABC4
1答案
4
12．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|→OB－→OC|＝|→OB＋→OC－2→OA|，则△ABC的形状为________．
解析 (等价转化法)→OB＋→OC－2→OA＝→OB－→OA＋→OC－→OA＝→AB＋→AC， →OB－→OC＝→CB＝→AB－→AC， ∴|→AB＋→AC|＝|→AB－→AC|.
故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形． 答案 直角三角形
【点评】 本题采用的是等价转化法，将△ABC的三个顶点转化到相应矩形中，从而判断三角形形状.本题也可用两边平方展开得出结论. 三、解答题
213．如图所示，△ABC中，→AD＝→AB，DE∥BC交AC于E，AM是BC边上的中线，
3交DE于N.设→AB＝a，→AC＝b，用a，b分别表示向量→AE，→BC，→DE，→DN，→AM，
→AN.
221
解析→AE＝b，→BC＝b－a，→DE＝(b－a)，→DN＝(b－a)，
33311→
AM＝(a＋b)，→AN＝(a＋b)．
23
14．设a，b是两个不共线的非零向量，若a与b起点相同，t∈R，t为何值时，1
a，tb，(a＋b)三向量的终点在一条直线上？
31?
解析 设a－tb＝λ?a－
3?
a＋b?(λ∈R)，
?
?
1??2??
化简整理得?λ－1?a＋?t－λ?b＝0，
3??3??∵a与b不共线，∴由平面向量基本定理有