2019年

(1)求证：AC是⊙O的切线；

(2)若点F是OA的中点，OE＝3，求图中阴影部分的面积；

(3)在(2)的条件下，点P是BC边上的动点，当PE＋PF取最小值时，直接写出BP的长．

16．(2019·创新题)如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD，弧DE，弧EF的圆心依次是A，B，C，如果AB＝1，那么曲线CDEF的长是________．

2019年

参考答案

【基础训练】

1． A 2.C 3.C 4.C 5.C 6．2π 7.π 8.12＋43 9．解：∵AD⊥BC，∠EPF＝40°， ∴∠EAF＝2∠EPF＝80°， 80π×48π

∴S扇形EAF＝＝，

36091

S△ABC＝AD·BC＝4，

2

8π

∴S阴影部分＝S△ABC－S扇形EAF＝4－.

9

10．(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°. ∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°， 即OC⊥AD，∴AE＝ED. ︵︵

(2)解：∵OC⊥AD，∴AC＝CD， ∴∠ABC＝∠CBD＝36°，

∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°， ︵72π×5∴AC＝＝2π.

180【拔高训练】

1011

11．A 12.C 13. 14.π

3615．(1)证明：如图，作OH⊥AC于点H. ∵AB＝AC，AO⊥BC于点O，∴AO平分∠BAC. ∵OE⊥AB，OH⊥AC，∴OH＝OE， ∴AC是⊙O的切线．

(2)解：∵点F是AO的中点，∴AO＝2OF＝6.

2019年

∵OE＝3，∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°， ∴AE＝3OE＝33，

160·π·3

∴S图中阴影部分＝S△AOE－S扇形EOF＝×3×33－

2360＝

93－3π

. 2

2

(3)解：3.

提示：如图，作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于点P. ∵PF＝PF′，

∴PE＋PF＝PE＋PF′＝EF′，此时EP＋FP最小． ∵OF′＝OF＝OE，∴∠F′＝∠OEF′. 而∠AOE＝∠F′＋∠OEF′＝60°， ∴∠F′＝30°， ∴∠F′＝∠EAF′， ∴EF′＝EA＝33， 即PE＋PF最小值为33. 在Rt△OPF′中，OP＝在Rt△ABO中，OB＝

3

OF′＝3， 3

33

OA＝×6＝23， 33

∴BP＝23－3＝3，

即当PE＋PF取最小值时，BP的长为3.

【培优训练】 16．4π