?200?160????120?160????40?????40??0.80
∵ P (120＜X≤200)=?????????σσ?????σ??σ?又对标准正态分布有φ(－x)=1－φ(x)
40???40???0.80 ∴ 上式变为??????1?????σ???σ????40?便得:??40??0.9
解出??????σ??σ? 再查表，得
4040?1.281σ??31.25 σ1.28130.[二十七] 设随机变量X的分布律为： X：－2，
P：
－1， 0，
1，
3
1， 5111， ， ， 6515 (－1)2
(0)2
11 30(1)2
(3)2
求Y=X 2的分布律
∵ Y=X 2：(－2)2 P：
1 5111 6515 4
9
11 30再把X 2的取值相同的合并，并按从小到大排列，就得函数Y的分布律为： ∴ Y： 0 P：
1
111111 ?561553031.[二十八] 设随机变量X在（0，1）上服从均匀分布
（1）求Y=eX的分布密度
?1∵ X的分布密度为：f(x)???0
Y=g (X) =eX是单调增函数 X=h (Y)=lnY，反函数存在
0?x?1
x为其他又 且
α = min[g (0), g (1)]=min(1, e)=1
??max[g (0), g (1)]=max(1, e)= e
?f[h(y)]?|h'(y)|?1?1?∴ Y的分布密度为：ψ(y)??y?0?（2）求Y=－2lnX的概率密度。 ∵ 又
Y= g (X)=－2lnX 是单调减函数
?Y21?y?ey为其他
X?h(Y)?e 反函数存在。
且 α = min[g (0), g (1)]=min(+∞, 0 )=0
β=max[g (0), g (1)]=max(+∞, 0 )= +∞
yy?1?21?2?e?f[h(y)]?|h'(y)|?1??e∴ Y的分布密度为：ψ(y)??22?0?0?y???y为其他
32.[二十九] 设X～N（0，1） （1）求Y=eX的概率密度 ∵ X的概率密度是f(x)??1e2πx22,???x???
Y= g (X)=eX 是单调增函数 又 且
X= h (Y ) = lnY 反函数存在
α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=0
β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞ ∴ Y的分布密度为：
(lny)2???f[h(y)]?|h'(y)|?1e2?1ψ(y)??y2π?0?0?y??? y为其他（2）求Y=2X2+1的概率密度。
在这里，Y=2X2+1在(+∞，－∞)不是单调函数，没有一般的结论可用。 设Y的分布函数是FY（y）， 则 FY ( y)=P (Y≤y)=P (2X2+1≤y) =P??当y<1时：FY ( y)=0
???y?1?X?2y?12?? ???当y≥1时：Fy(y)?P????故Y的分布密度ψ( y)是：
y?1?X?2y?1???2???y?12?y?121e2π?x22dx
当y≤1时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0
y?12y?12?当y>1时，ψ( y)= [FY ( y)]' =?????12?ex2?2??dx? ???1 =e2π(y?1)y?14
（3）求Y=| X |的概率密度。
∵ Y的分布函数为 FY ( y)=P (Y≤y )=P ( | X |≤y) 当y<0时，FY ( y)=0
当y≥0时，FY ( y)=P (| X |≤y )=P (－y≤X≤y)=∴ Y的概率密度为：
当y≤0时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0
?y?y?1e2πx22dx
?y2x2?y1???2当y>0时：ψ( y)= [FY ( y)]' =?e2dx??e2
??y2π?π??33.[三十] （1）设随机变量X的概率密度为f (x)，求Y = X 3的概率密度。
?∵ 又 且
Y=g (X )= X 3 是X单调增函数， X=h (Y ) =Y，反函数存在，
α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=－∞
13 β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞ ∴ Y的分布密度为：
1321? ψ( y)= f [h ( h )]2| h' ( y)| = f(y)?y3,???y???,但y?0
3?(0)?0
（2）设随机变量X服从参数为1的指数分布，求Y=X 2的概率密度。
?e?x法一：∵ X的分布密度为：f(x)???0 Y=x2是非单调函数
当 x<0时 y=x? 反函数是x??y 当 x<0时 y=x2 ? x?2
x?0x?0
y=x2 y y
O ∴ Y～ fY (y) = f(?y)(?y)??f(y)(y)? －y y x
?0?1e?? =?2y??0y?12ye?y,y?0y?0
法二：Y~FY(y)?P(Y?y)?P(?y?X?y)?P(X?y)?P(X??y)
?y?xedx?0?1?e?? ?0??0?y,,y?0y?0
?1e??∴ Y～ fY (y) =?2y??0y,,y?0.y?0.
34.[三十一] 设X的概率密度为
?2x0?x?π? f(x)??π2?x为其他?0求Y=sin X的概率密度。
∵ FY ( y)=P (Y≤y) = P (sinX≤y) 当y<0时：FY ( y)=0
当0≤y≤1时：FY ( y) = P (sinX≤y) = P (0≤X≤arc sin y或π－arc sin y≤X≤π) =当1 arcsiny?02xdx?π2?2xdx π?arcsinyπ2π?0 ?arcsiny02xdx?2π ??2x?dx? π?arcsinyπ2?π2π1?y21≤y时，ψ( y )=[ FY ( y)]' = (1)? = 0 36.[三十三] 某物体的温度T (oF )是一个随机变量，且有T～N（98.6，2），试求θ(℃)