十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学
专题11 直线与圆
一、选择题
1.(2019·全国2·理T11文T12)设F为双曲线
2
2
2
??2C:??2?
??2??
2=1(a>0,b>0)的右焦点,O
为坐标原点,以OF为直径
的圆与圆x+y=a交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为( ) A.√2 【答案】A
【解析】如图,设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQ⊥x轴. ∵|PQ|=|OF|=c,∴|PA|=2.
∴PA为以OF为直径的圆的半径,A为圆心, ∴|OA|=2.∴P2,2.
又点P在圆x+y=a上,∴4+4=a,即2=a, ∴e
2
2
2
2
B.√3 C.2 D.√5 ??
??????
??2??2
2
??2
2
??2
=??2=2,∴e=√2,故选
A.
2.(2018·北京·理T7)在平面直角坐标系中,记d为点P(cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m变化时,d的最大值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C
x=cosθ,22
【解析】设P(x,y),则{x+y=1.即点P在单位圆上,点P到直线x-my-2=0的距离可转化为圆心(0,0)
y=sinθ,到直线x-my-2=0的距离加上(或减去)半径,所以距离最大为d=1+当m=0时,dmax=3.
3.(2018·全国3·理T6文T8)直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)+y=2上,则△ABP面积的取值范围是( ) A.[2,6] C.[√2,3√2] 【答案】A
【解析】设圆心到直线AB的距离d=|2+0+2|=2√2. √22
2
|-2|√1+m=1+22√1+m2. B.[4,8]
D.[2√2,3√2]
点P到直线AB的距离为d'. 易知d-r≤d'≤d+r,即√2≤d'≤3√2. 又AB=2√2,∴S△ABP=·|AB|·d'=√2d', ∴2≤S△ABP≤6.
4.(2016·山东·文T7)已知圆M:x+y-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2√2.则圆M与圆2
2
12N:(x-1)2
+(y-1)2
=1的位置关系是( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
【答案】B
【解析】圆M的方程可化为x2
+(y-a)2
=a2
,故其圆心为M(0,a),半径R=a. 所以圆心到直线x+y=0的距离d=|0+??|=√2√12+122a. 所以直线x+y=0被圆M所截弦长为
2√??2-d2=2√a2-(√222a)
=√2a,由题意可得√2a=2√2,故a=2.
而|MN|=√(1-0)2+(1-2)2
=√2,显然R-r<|MN| 5.(2016·全国2·理T4文T6)圆x2+y2 -2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( A.-43 B.-34 C.√3 D.2 【答案】A 【解析】圆的方程可化为(x-1)2 +(y-4)2 =4,圆心坐标为(1,4). 所以d=|a+4-1|√a2+1=1,解得a=-4 3,故选A. 6.(2015·全国2·理T7)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( ) A.2√6 B.8 C.4√6 D.10 【答案】C 【解析】设圆的方程为x2 +y2 +Dx+Ey+F=0,将点A,B,C代入,得 D+3E+F+10=0,{4D+2E+F+20=0,D=-2,解得{D-7E+F+50=0,E=4, F=-20.则圆的方程为x2 +y2 -2x+4y-20=0. 令x=0得y2 +4y-20=0, 设M(0,y1),N(0,y2),则y2 1,y2是方程y+4y-20=0的两根, 由根与系数的关系,得y1+y2=-4,y1y2=-20,故|MN|=|y1- ) y2|=√(y1+y2)-4y1y2=√16+80=4√6. 7.(2015·全国2·文T7)已知三点A(1,0),B(0,√3),C(2,√3),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.3 【答案】B 【解析】由题意知,△ABC外接圆的圆心是直线x=1与线段AB垂直平分线的交点为P,而线段AB垂直平分线的方程为y-2= √3√32 5 B.3 √21C.3 2√5D.3 4 1-(x),它与32x=1联立得圆心 2√3P坐标为(1,3),则|OP|=√122√3+(3) 2 =3. √218.(2015·北京·文T2)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A.(x-1)+(y-1)=1 B.(x+1)+(y+1)=1 C.(x+1)+(y+1)=2 D.(x-1)+(y-1)=2 【答案】D 【解析】圆的半径r=√2 ,标准方程为(x-1)+(y-1)=2. 9.(2015·广东·理T5)平行于直线2x+y+1=0且与圆x+y=5相切的直线的方程是( ) A.2x+y+5=0或2x+y-5=0 B.2x+y+√5=0或2x+y-√5=0 C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x-y+√5=0或2x-y-√5=0 【答案】A 【解析】设与直线2x+y+1=0平行的直线方程为2x+y+m=0(m≠1), 因为直线2x+y+m=0与圆x+y=5相切, 所以|m|√52 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =√5,|m|=5. 故所求直线的方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0. 10.(2015·山东·理T9)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)+(y-2)=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( ) A.-3或-5 C.-4或-5 5 45 3 2 2 B.-2或-3 D.-3或-4 4 3 32 【答案】D 【解析】如图,作出点P(-2,-3)关于y轴的对称点P0(2,-3).由题意知反射光线与圆相切,其反向延长线过点P0.故设反射光线为y=k(x-2)-3,即kx-y-2k-3=0. ∴圆心到直线的距离d=解得k=-3或k=-4. 11.(2015·重庆·理T8)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x+y-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=( ) A.2 【答案】C 【解析】依题意,直线l经过圆C的圆心(2,1),因此2+a-1=0,所以a=-1,因此点A的坐标为(-4,-1). 2 又圆C的半径r=2,由△ABC为直角三角形可得|AB|=√|AC|-r2. 2 又|AC|=2√10,所以|AB|=√(2√10)-22=6. 2 2 |-3k-2-2k-3|√1+k 2=1, 43 B.4√2 C.6 D.2√10 12.(2014·全国2·文T12)设点M(x0,1),若在圆O:x+y=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是( ) A.[-1,1] C.[-√2,√2] 【答案】A 【解析】建立三角不等式,利用两点间距离公式找到x0的取值范围. 如图,过点M作☉O的切线,切点为N,连接ON.M点的纵坐标为1,MN与☉O相切于点N. 设∠OMN=θ,则θ≥45°,即sin θ≥2, 即????≥2.而ON=1,∴OM≤√2. 22 ∵M为(x0,1),∴√??0+1≤√2,∴??0≤1, √222 B.[-,] D.[-2,2] √2√21 212????√2∴-1≤x0≤1,∴x0的取值范围为[-1,1]. 13.(2014·浙江·文T5)已知圆x+y+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是( ) A.-2 B.-4 C.-6 D.-8 2 2 【答案】B 【解析】圆的方程可化为(x+1)+(y-1)=2-a,因此圆心为(-1,1),半径r=√2-??. 2 2