1kA2?A1??(mv2)? ③
2212kk即 ky2??
222所以， y2?于是钉子第二次能进入的深度为
2
?y?y2?y1?2?1?0.414cm
2.19 设已知一质点(质量为m)在其保守力场中位矢为r点的势能为EP(r)??k/r, 试求质点所受保守力的大小和方向． 解: F(r)??ndEp(r)dr??nk rn?1方向与位矢r的方向相反，方向指向力心．
2.20 一根劲度系数为k1的轻弹簧A的下端，挂一根劲度系数为k2的轻弹簧B，B的下端又挂一重物C，C的质量为M，如题2.20图．求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势能之比．
?
题2.20图
解: 弹簧A、B及重物C受力如题2.20图所示平衡时，有
FA?FB?Mg
又 FA?k1?x1
FB?k2?x2
所以静止时两弹簧伸长量之比为
?x1k2? ?x2k1弹性势能之比为
Ep1Ep21k1?x12k?2?2 1k12k2?x22
2.21 (1)试计算月球和地球对m物体的引力相抵消的一点P，距月球表面的距离是多少?地球质量5.98×10
24
kg，地球中心到月球中心的距离3.84×10m，月球质量7.35×10kg，月
822
球半径1.74×10m．(2)如果一个1kg的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零，那么它在P点的势能为多少?
解: (1)设在距月球中心为r处F月引?F地引，由万有引力定律，有
6
G经整理，得
mM月r2?GmM地?R?r?2
r?M月M地?M月R
=
7.35?10225.98?1024?7.35?10226?3.48?108
?38.32?10m 则P点处至月球表面的距离为
h?r?r月?(38.32?1.74)?106?3.66?107m
(2)质量为1kg的物体在P点的引力势能为
EP??GM月r?GM地
?R?r?7.35?10225.98?1024?11 ??6.67?10??6.67?10?77?38.4?3.83??103.83?1011?1.28?106J
2.22 如题2.22图所示，一物体质量为2kg，以初速度v0＝3m·s从斜面A点处下滑，它与
-1
斜面的摩擦力为8N，到达B点后压缩弹簧20cm后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数
和物体最后能回到的高度．
题2.22图
解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原长处为弹性势能零点。则由功能原理，有
?frs?12?1?kx??mv02?mgssin37?? 2?2?1mv02?mgssin37??frs k?212x2式中s?4.8?0.2?5m，x?0.2m，再代入有关数据，解得
k?1450N?m-1
再次运用功能原理，求木块弹回的高度h?
1?frs??mgs?sin37o?kx2
2代入有关数据，得 s??1.45m,
则木块弹回高度
h??s?sin37o?0.87m
2.23 质量为M的大木块具有半径为R的四分之一弧形槽，如题2.23图所示．质量为m的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度．
题2.23图
解: m从M上下滑的过程中，机械能守恒，以m，M，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有
121mv?MV2 22又下滑过程，动量守恒，以m、M为系统，则在m脱离M瞬间，水平方向有
mv?MV?0
mgR?联立以上两式，得
v?2MgR
m?M
2.24 一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞，试证碰后两小球的运动方向
证: 两小球碰撞过程中，机械能守恒，有
121212mv0?mv1?mv2 222222即 v0?v1?v2 ①
题2.24图(a) 题2.24图(b)
又碰撞过程中，动量守恒，即有
???mv0?mv1?mv2
亦即 v0?v1?v2 ②
由②可作出矢量三角形如图(b)，又由①式可知三矢量之间满足勾股定理，且以v0为斜边，故知v1与v2是互相垂直的．
习题3
3.1选择题
(1) 有一半径为R的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量为J，开始时转台以匀角速度ω0转动，此时有一质量为m的人站在转台中心，随后人沿半径向外跑去，当人到达转台边缘时，转台的角速度为
(A)
??????JJ?0 (B) ?022(J?m)RJ?mR(C)
J?0 (D) ?0 2mR[答案： (A)]
(2) 如题3.1（2）图所示，一光滑的内表面半径为10cm的半球形碗，以匀角速度ω绕其对称轴OC旋转，已知放在碗内表面上的一个小球P相对于碗静止，其位置高于碗底4cm，则由此可推知碗旋转的角速度约为 (A)13rad/s (B)17rad/s (C)10rad/s (D)18rad/s