习题1

1.1选择题

(1) 一运动质点在某瞬时位于矢径r(x,y)的端点处，其速度大小为

??drdr(A) (B)

dtdt?

dx2dy2d|r|

(C) (D) ()?()

dtdtdt

[答案：D]

(2) 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度v?2m/s，瞬时加速度a??2m/s，则一秒钟后质点的速度

(A)等于零 (B)等于-2m/s (C)等于2m/s (D)不能确定。

[答案：D]

(3) 一质点沿半径为R的圆周作匀速率运动，每t秒转一圈，在2t时间间隔中，其平均速度大小和平均速率大小分别为

22?R2?R2?R (B) 0, ,ttt2?R(C) 0,0 (D) ,0

t(A)

[答案：B]

1.2填空题

(1) 一质点，以?m?s的匀速率作半径为5m的圆周运动，则该质点在5s内，位移的大小是 ；经过的路程是 。

[答案： 10m； 5πm]

(2) 一质点沿x方向运动，其加速度随时间的变化关系为a=3+2t (SI)，如果初始时刻质点的速度v0为5m·s-1，则当t为3s时，质点的速度v= 。

[答案： 23m·s-1 ]

?1???(3) 轮船在水上以相对于水的速度V1航行，水流速度为V2，一人相对于甲板以速度V3行走。???如人相对于岸静止，则V1、V2和V3的关系是 。

???[答案： V1?V2?V3?0]

1.3 一个物体能否被看作质点，你认为主要由以下三个因素中哪个因素决定：

(1) 物体的大小和形状； (2) 物体的内部结构； (3) 所研究问题的性质。

解：只有当物体的尺寸远小于其运动范围时才可忽略其大小的影响，因此主要由所研究问题的性质决定。

1.4 下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？

（1）x=4t-3；（2）x=-4t3+3t2+6；（3）x=-2t2+8t+4；（4）x=2/t2-4/t。

给出这个匀变速直线运动在t=3s时的速度和加速度，并说明该时刻运动是加速的还是减速的。（x单位为m，t单位为s）

解：匀变速直线运动即加速度为不等于零的常数时的运动。加速度又是位移对时间的两阶导数。于是可得（3）为匀变速直线运动。 其速度和加速度表达式分别为

v?dx?4t?8dt 2dxa?2?4dtt=3s时的速度和加速度分别为v=20m/s，a=4m/s2。因加速度为正所以是加速的。

1.5 在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为零哪些不为零？

(1) 匀速直线运动；(2) 匀速曲线运动；(3) 变速直线运动；(4) 变速曲线运动。 解：(1) 质点作匀速直线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均为零； (2) 质点作匀速曲线运动时，其切向加速度为零，法向加速度和加速度均不为零； (3) 质点作变速直线运动时，其法向加速度为零，切向加速度和加速度均不为零； (4) 质点作变速曲线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均不为零。

1.6 ｜?r｜与?r 有无不同?试举例说明．

解：（1）?r是位移的模，?r是位矢的模的增量，即?r?r2?r1，?r?r2?r1； （2）

drdrdvdv和有无不同? 和有无不同?其不同在哪里?dtdtdtdt??drdrds是速度的模，即. ?v?dtdtdtdr只是速度在径向上的分量. dt?（式中r?叫做单位矢）∵有r?rr，则

式中

?drdrdr??r ?rdtdtdtdr就是速度在径向上的分量， dt∴

drdr与不同如题1.6图所示. dtdt题1.6图

?dvdv?dv (3)表示加速度的模，即a?，是加速度a在切向上的分量.

dtdtdt∵有v?v?(?表轨道节线方向单位矢），所以

????dvdv?d? ???vdtdtdtdv就是加速度的切向分量. dt???d??dr与(?的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) dtdt式中

1.7 设质点的运动方程为x=x(t)，y=y(t)，在计算质点的速度和加速度时，有人先求

d2rdr出r＝x?y，然后根据v =及a＝2而求得结果；又有人先计算速度和加速度的

dtdt22

?d2x??d2y??dx??dy????? 你认为两种方法哪一种 v=?????，a=?2?2????dt??dt??dt??dt?正确？为什么？两者差别何在？

解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有r?xi?yj，

2222?????drdx?dy??v??i?jdtdtdt 2?22??drdxdy?a?2?2i?2jdtdtdt故它们的模即为

?dx??dy?22v?vx?vy???????dt??dt?2222?dx??dy?22a?ax?ay???dt2?????dt2??????22

而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作

drv?dtd2ra?2

dtdrd2rdr其二，可能是将与2误作速度与加速度的模。在1.6题中已说明不是速度的模，

dtdtdtd2r而只是速度在径向上的分量，同样，2也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中

dt2?d2rd?????的一部分?a径?2?r?或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢r在径向（即??。

dtdt????????量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢r及速度v的方向随时间的变化率对速度、加

速度的贡献。

1.8 一质点在xOy平面上运动，运动方程为

x=3t+5, y=

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t+3t-4. 2式中t以 s计，x,y以m计．(1)以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t=1 s 时刻和t＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t＝0 s时刻到t＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t＝4 s 时质点的速度；(5)计算t＝0s 到t＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)

?12??解：（1） r?(3t?5)i?(t?3t?4)jm

2(2)将t?1,t?2代入上式即有

???r1?8i?0.5j m

r2?11i?4jm ?r?r2?r1?3i?4.5jm

(3)∵ r0?5i?4j,r4?17i?16j

???????r?r12i?20j??r?40??3i?5jm?s?1 ∴ v??t4?04????dr?3i?(t?3)jm?s?1 (4) v?dt????1则 v4?3i?7j m?s

(5)∵ v0?3i?3j,v4?3i?7j

??????