∴∠1+∠3=（∠ABC+∠ADC）=×180°=90°（等式的性质）． 又∠1+∠AEB=90°（三角形的内角和等于180°）， ∴∠3=∠AEB（同角的余角相等）． ∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）．
【点评】此题运用了四边形的内角和定理、角平分线定义、等角的余角相等和平行线的判定，难度中等．
35．（2016春?周口期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°）： （1）①若∠DCE=45°，则∠ACB的度数为 135° ； ②若∠ACB=140°，求∠DCE的度数；
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
（3）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）①首先计算出∠DCB的度数，再用∠ACD+∠DCB即可；②首先计算出∠DCB的度数，再计算出∠DCE即可；
（2）根据（1）中的计算结果可得∠ACB+∠DCE=180°，再根据图中的角的和差关系进行推理即可；
（3）根据平行线的判定方法可得．
【解答】解：（1）①∵∠ECB=90°，∠DCE=45°， ∴∠DCB=90°﹣45°=45°，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+45°=135°，
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故答案为：135°；
②∵∠ACB=140°，∠ACD=90°， ∴∠DCB=140°﹣90°=50°， ∴∠DCE=90°﹣50°=40°；
（2）∠ACB+∠DCE=180°，
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB，
∴∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+90°=180°；
（3）存在，
当∠ACE=30°时，AD∥BC， 当∠ACE=∠E=45°时，AC∥BE， 当∠ACE=120°时，AD∥CE， 当∠ACE=135°时，BE∥CD， 当∠ACE=165°时，BE∥AD．
【点评】此题主要考查了角的计算，以及平行线的判定，关键是理清图中角的和差关系．
36．（2016秋?郓城县期末）已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB∥CD．
【分析】首先由BE⊥FD，得∠1和∠D互余，再由已知，∠C=∠1，∠2和∠D互余，所以得∠C=∠2，从而证得AB∥CD． 【解答】证明：∵BE⊥FD， ∴∠EGD=90°，
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∴∠1+∠D=90°，
又∠2和∠D互余，即∠2+∠D=90°， ∴∠1=∠2， 又已知∠C=∠1， ∴∠C=∠2， ∴AB∥CD．
【点评】此题考查的知识点是平行线的判定，关键是由BE⊥FD及三角形内角和定理得出∠1和∠D互余．
37．（2016春?广州校级期末）已知：如图所示，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2=90°． （1）求证：AB∥CD；
（2）试探究∠2与∠3的数量关系．
【分析】（1）已知BE、DE平分∠ABD、∠BDC，且∠1+∠2=90°，可得∠ABD+∠BDC=180°，根据同旁内角互补，可得两直线平行．
（2）已知∠1+∠2=90°，即∠BED=90°；那么∠3+∠FDE=90°，将等角代换，即可得出∠3与∠2的数量关系．
【解答】证明：（1）∵BE、DE平分∠ABD、∠BDC， ∴∠1=∠ABD，∠2=∠BDC； ∵∠1+∠2=90°， ∴∠ABD+∠BDC=180°；
∴AB∥CD；（同旁内角互补，两直线平行）
解：（2）∵DE平分∠BDC， ∴∠2=∠FDE；
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∵∠1+∠2=90°， ∴∠BED=∠DEF=90°； ∴∠3+∠FDE=90°； ∴∠2+∠3=90°．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的判定，难度不大．
38．（2016秋?内江期末）如图，∠1+∠2=180°，∠A=∠C，DA平分∠BDF． （1）AE与FC会平行吗？说明理由； （2）AD与BC的位置关系如何？为什么？ （3）BC平分∠DBE吗？为什么．
【分析】（1）证明∠1=∠CDB，利用同位角相等，两直线平行即可证得； （2）平行，根据平行线的性质可以证得∠A=∠CBE，然后利用平行线的判定方法即可证得；
（3）∠EBC=∠CBD，根据平行线的性质即可证得． 【解答】解：（1）平行．理由如下：
∵∠1+∠2=180°，∠2+∠CDB=180°（邻补角定义）， ∴∠1=∠CDB，
∴AE∥FC（ 同位角相等两直线平行）；
（2）平行．理由如下： ∵AE∥CF，
∴∠C=∠CBE（两直线平行，内错角相等）， 又∵∠A=∠C， ∴∠A=∠CBE，
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）；
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