北航20102011年研究生数值分析期末模拟试卷13 下载本文

并写出插值余项。

四、(10分)证明对任意的初值x0,迭代格式xn?1?cosxn均收敛于方程x?cosx的根,

且具有线性收敛速度。

五、(12分) 在区间[-1,1]上给定函数f(x)?4x?1,求其在??Span{1,x,x}中关于

权函数?(x)?1的最佳平方逼近多项式。(可用数据:

32p0(x)?1,p1(x)?x,p2(x)?六、(12

)(1)

321x?) 22切

(Chebyshev)

Tn(x)?cos(narccosx)(n?0,1,2,?,x?[?1,1])的三项递推关系式:

T0(x)?1,??T1(x)?x,? ?????Tn?1(x)?2xTn(x)?Tn?1(x)(n?1,2,?)(2)用高斯—切比雪夫求积公式计算积分I?能得到积分的精确值?并计算它。

?2x2?1x(2?x)0dx,问当节点数n取何值时,

h?y?y?(K1?K3)n?1n?2?K1?f(xn,yn)七、(10分)验证对?t,?为2阶格式. ?K2?f(xn?th,yn?thK1)??K3?f(xn?(1?t)h,yn?(1?t)hK1)

参考答案1 一、1.?(a)?6,cond1(A)=6.

2.f[xn,xn?1,xn?2]=3,f[xn,xn?1,xn?2,xn?3]=0. 3.b=-2,c=3.

?163?,k?024.?2;q2(x)?x?x?.

510??0,k?05.a?(?12,12);lii?0(i?1,2,3)

二、(1) H(x)??14326322331 x?x?x?22545045025519?21919?(x?)(x?1)2(x?),??(,). (2) R(x)?4!164444三、(1)L?2?;(2)x?3.347;(3)线性收敛. 3101612,B?,???;求积公式具有5次代数精度,是Gauss型的. 995四、A?C?五、?=,?0=,?1=-;截断误差主项为hy???(xn). 六、(1)?(BJ)?0.6,?(BGS)?0.6?1,因此两种迭代法均收敛.

(2)当

参考答案2 一、1.2

2.xn?1?xn?3.1, 0 4.7,

12741438311?0.6?a?0时,该迭代公式收敛.

f(xn)(n?0,1,?) f?(xn)25 71324?(k?1)15(k)??x2?x1133, 6. ?1(k?1)?x2??x1(k?1)1220?5.(,1),(,) 7. x0??8. 是, 1

122,x1?32; 1 30?203??10?2?4二、(1) L??0?13??00?1??1?0?1???20???,U??01?0??00?5???4???000?2310?0??0?? 3??4?1??(2)

l65?a65?(l61u15?l62u25?l63u35?l64u45);u55

u56?a55?(l51u16?l52u26?l53u356?l54u46)f(4)(?)x(x?1)2(x?2) 三、 H(x)?x?2x(x?1)(x?2),R(x)?4!(k)?x1(k?1)?b1??x2?四、(1) ?(k?1)b2(k?1), ??1 时收敛

x???x21?2??(k?1)b11(k)(k)??x1?x2?x122 (2) ?, 收敛 b21(k)(k?1)(k?1)?x2??x2?x142?五、收敛 七、(1)

211123f()?f()?f() 343234(2)2 (3)

1 3八、p?n时为0,p?n?1时为1

参考答案3 一、1.4

2.发散

3.f??(x)?0

*4.xn?1?xn?f(xn)f(xn)(n?0,1,?),xn?1?xn?3(n?0,1,?) f?(xn)f?(xn)5.

8?602, 49 6.

lgxx2?1

7. x3 8.

73 二、(2) 先交换2、3两行,交换1、2两行,

?100?L???0.666710??321??00,U??00.66670.3333?,P??10????0.33330.51????000.5??????01(3) (?1.5,1,4.5)?

三、H(x)??x?11x(x?1)?9x(x?1)2,R(x)?f(4)(?)4!x(x?1)3 五、p120?5p1 六、n?1,?2

1?0?0?

??