北航20102011年研究生数值分析期末模拟试卷13 下载本文

数值分析模拟试卷1

一、填空(共30分,每空3分) 1 设A???2 设

?11??,则A的谱半径?(a)?______,A的条件数cond1(A)=________. ???51?f(x)?3x2?5,xk?kh,k?0,1,2,?,则f[xn,xn?1,xn?2]=________,

f[xn,xn?1,xn?2,xn?3]=________.

32??x?x,0?x?13 设S(x)??,是以0,1,2为节点的三次样条函数,则

32??2x?bx?cx?1,1?x?2b=________,c=________.

4 设[qk(x)]k?0是区间[0,1]上权函数为?(x)?x的最高项系数为1的正交多项式族,其中q0(x)?1,则

??xq01k(x)dx?________,q2(x)?________.

?10a???5 设A?01a,当a?________时,必有分解式????aa1??,其中L为下三角阵,当

其对角线元素Lii(i?1,2,3)满足条件________时,这种分解是唯一的. 二、(14分)设f(x)?x,x0?3219,x1?1,x2?, 44(1)试求f(x)在[,]上的三次Hermite插值多项式H(x)使满足

1944H(xi)?f(xi),i?0,1,2,H?(x1)?f?(x1).

(2)写出余项R(x)?f(x)?H(x)的表达式.

三、(14分)设有解方程12?3x?2cosx?0的迭代公式为xn?1?4???(1) 证明?x0?R均有limxn?x(x为方程的根);

x??2cosxn, 3(2) 取x0?4,用此迭代法求方程根的近似值,误差不超过(3)此迭代的收敛阶是多少?证明你的结论.

四、(16分) 试确定常数A,B,C和,使得数值积分公式

,列出各次迭代值;

有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少?它是否为Gauss型的?

五、(15分) 设有常微分方程的初值问题??y??f(x,y),试用Taylor展开原理构造形如

?y(x0)?y0yn?1??(yn?yn?1)?h(?0fn??1fn?1)的方法,使其具有二阶精度,并推导其局部截断误

差主项.

六、(15分) 已知方程组Ax=b,其中A????12??1???,b???2??, 0.31????(1) 试讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解此方程组的收敛性. (2) 若有迭代公式x(k?1)?x(k)?a(Ax(k)?b),试确定一个的取值范围,在这个范围内

任取一个值均能使该迭代公式收敛. 七、(8分) 方程组程组变化为

,其中

,其中

,A是对称的且非奇异.设A有误差为解的误差向量,试证明

,则原方

.

其中?1和?2分别为A的按模最大和最小的特征值.

数值分析模拟试卷2

填空题(每空2分,共30分)

1. 近似数x?0.231关于真值x?0.229有____________位有效数字; 2. 设

?f(x)可微,求方程x?f(x)根的牛顿迭代格式是

_______________________________________________;

3. 对f(x)?x?x?1,差商f[0,1,2,3]?_________________;f[0,1,2,3,4]?________; 4. 已

3?32?x?(2,?3)?,A????21???? ,则

||Ax||??________________,

Cond1(A)?______________________ ;

5. 用二分法求方程f(x)?x?x?1?0在区间[0,1]内的根,进行一步后根所在区间为

_________,进行二步后根所在区间为_________________;

3?3x1?5x2?1?6. 求解线性方程组?1的高斯—赛德尔迭代格式为

x?4x?012??5_______________________________________;该迭代格式迭代矩阵的谱半径

?(G)?_______________;

7. 为使两点数值求积公式:

?1?1f(x)dx??0f(x0)??1f(x1)具有最高的代数精确度,其

求积节点应为x0?_____ , x1?_____,?0??1?__________. 8. 求积公式

?303f(x)dx?[f(1)?f(2)]是否是插值型的__________,其代数精度为

2___________。

二、(12分)(1)设A?LU,其中L为下三角阵,U为单位上三角阵。已知

00??2?1???12?10??A??,求L,U。

0?12?1????00?12???(2)设A为6?6矩阵,将A进行三角分解:A?LU,L为单位下三角阵,U为上三角阵,试写出L中的元素l65和U中的元素u56的计算公式。

三、(12分)设函数f(x)在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定一个次数不超过3的多项式H(x),满足

H(0)?f(0)?0,H(1)?f(1)?1,H(2)?f(2)?1,H?(1)?f?(1)?3 ,

并写出插值余项。 (12分)线性方程组

??x1??x2?b1

?2?x1?2x2?b212(1) 请写出解此方程组的赛德尔迭代法的迭代格式,并讨论收敛性。 (2) 设??2,给定松弛因子??收敛性。

五、(7分)改写方程2?x?4?0为x?ln(4?x)/ln2的形式,问能否用迭代法求所给方程在[1,2]内的实根?

32六、(7分)证明解方程(x?a)?0求3a的牛顿迭代法仅为线性收敛。

,请写出解此方程组的SOR方法的迭代格式,并讨论

x七、(12分)已知x0?113,x1?,x2?. 424(1)推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式;

(2)指明求积公式具有的代数精度;

(3) 用所求公式计算

?x012dx。

八、(8分)若f(x)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn),xi互异,求f[x0,x1,?,xp]的值,这里

p?n?1.

数值分析模拟试卷3

一、填空题(每空3分,共30分)

1. 设f(x)?4x?3x?2x?1,则差商f[2,2,?,2]? ; 2.在用松弛法(SOR)解线性方程组Ax?b时,若松弛因子?满足|??1|?1,则迭代法 ;

***3.设f(x)?0,f?(x)?0,要使求x的Newton迭代法至少三阶收敛,f(x)需要满

842018足 ;

4. 设f(x)?(x?2)(x?3x?3x?1),用Newton迭代法求x1??2具有二阶收敛的迭代格式为________________ ;求x2?1具有二阶收敛的迭代格式为___________________; 5.已知A???32?7?2?? ,则?(A)?__________,Cond?(A)?______ ???31? x2?1=___________________,使计算结果更为精确;

6. 若x??1,改变计算式lgx?lg37.过节点xi,xi(i?0,1,2,3)的插值多项式为_____________ ;

??8. 利用抛物(Simpson)公式求

?21x2dx= 。

?221???二、(14分)已知方阵A??111?,

?321???(1) 证明: A不能被分解成一个单位下三角阵L和一个上三角阵U的乘积;

(2) 给出A的选主元的Doolittle分解,并求出排列阵; (3) 用上述分解求解方程组Ax?b,其中b?(3.5,2,4)。

三、(12分)设函数f(x)在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定一个次数不超过3的多项式H(x),满足

TH(0)?f(0)?0,H(1)?f(1)??1,H?(1)?f?(1)?10,H??(1)?f??(1)?40 ,