感知高考刺金241题
已知a,b?R?，a2?b2?ab?3，则2a?b的最大值是 ． 解法一：判别式法
令t?2a?b，b?t?2a代入a2?b2?ab?3得7a2?5at?t2?3?0 关于a的一元二次方程有解得??25t2?28t2?3?0，即t2?28 ?55??a?a?t?2a?b??????所以t?2a?b?27，当且仅当?1414?2a?b?27?b????57时取得等号。 47??解法二：化齐次式
?2a?b?2?3?2a?b?222a?b?ab?34a2?4ab?b2a?b?ab22?34?4t?t21?t?t25t?3??3?1??1?t?t2?? ?令5t?3?u,t?u?3 5????25u25??故y?3?1?2?31????28 ?49?u?11u?49???u?11???u??当且仅当u?7,t?4时取得等号。 522b??3??22解法三：a?b?ab??a????b??3 ??22????b3令m?a?,n?b，即m2?n2?3
22设m?3cos?,n?3sin?，则a?sin??3cos?,b?2sin? 故2a?b?4sin??23cos??27sin????? 解法四：利用余弦定理构造三角形
设?ABC的三边分别为a,b,c?3，由a2?b2?ab?3得C?60? 由正弦定理
abc???2，故a?2sinA,b?2sinB sinAsinBsinC故2a?b?2?2sinA?2sinB??4sinA?4sin120??A?5sinA?3cosA?27sin?A??? 其中tan??332?????，故取???0,?，????A??? 533?6???第1页
故2a?b????3?,27? ?2?评注：本题是很常见的最值问题，解法一、解法二是常规的两种方法，解法三利用三角换元，
解法四构造三角形的方法不仅求出了最大值，还取到了最小值。
感知高考刺金242题
（2015全国联赛2）若实数?满足co?s?为 ．
解：由cos??tan?得cos2??sin?，
1sin2??cos2?4?cos???sin2??sin??1?1?cos2??2 sin?sin??ta，n则
1?co4s?的值si?n评注：这里用了1的逆用，简化了计算，当然也可以把sin?,cos?都算出来，不过计算量比较大。
感知高考刺金243题
（2015全国联赛4）在矩形ABCD中，AB?2,AD?1，边DC上（包含D,C）的动点P与CB????????????????Q?PQ的延长线上（包含点B）的动点满足DP?BQ，则PA的最小值为 ．
????????解：不妨设A?0,0?,B?2,0?,D?0,1?，则P?t,1??0?t?2?，则由DP?BQ得Q?2,?t?， ????????故PA???t,?1?,PQ??2?t,?t?1?
2?????????1?33PA?PQ????t??2?t????1???t?1???t????
?2?44评注：坐标法解决向量问题是常见方法。
感知高考刺金244题
（2015全国联赛6）在平面直角坐标系xOy中，点集K??x,y?|?x?3y?6??3x?y?6??0所对应的平面区域的面积为 ． 解：设K1???x,y?|x?3y?6?0?
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先考虑K1在第一象限中的部分，此时有x?3y?6，故这些点对应于图中的?OCD及其内部，由对称性知，K1对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD及其内部
同理设K2???x,y?|3x?y?6?0?，则K2对应的区域是图中以O为中心的菱形EFGH及其内部。
由点集K的定义知，K所对应的平面区域是被K1，K2中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S
?33?由直线CD:x?3y?6，直线GH:3x?y?6得交点P?,?
?22?13由对称性知，S?8S?CPG?8??4??24
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感知高考刺金245题
（2015全国联赛7）设?为正实数，若存在a,b???a?b?2??，使得sin?a?sin?b?2，则?的取值范围是 ． 解：由sin?a?sin?b?2知，sin?a?sin?b?1
而??a,?b?????,2???，故题目条件等价于： 存在整数k,l?k?l?，使得???2k???2?2l???2?2?? ①
当??4时，区间???,2???的长度不小于4?，故必存在k,l?k?l?满足①式 当0???4时，注意到???,2?????0,8??，故仅需要考虑如下几种情况： （i）????2?2???2?2??，此时??15且??，无解 2495??? 42139???，得42（ii）???2???2?4???2?2??，此时
（iii）???4??13???4 4?2?6???2?2??，此时
综上，可知
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