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limx?a(x??)f(x)0?F(x)可能存在、也可能不存在，通常称为0型和?型未定式。

例如：

0tanxlim,(0型); x?0xlimx?0lnsinax?,(型).

lnsinbx?定理6.2：设（1）当x??时,函数f?x?和F?x?都趋于零; f(x)lim（2）在a点的某去心邻域内,f'?x?和F'?x?都存在且F'?x??0;（3）F(x)存

x?a(x??)在(或无穷大), 则 定义6.3：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. sin2x?x2cos2x例10：limx?0x2sin2x 在利用洛比达法则求极限时，为使计算更加快捷减少运算中的诸多不便，可用适当的代换，并注意观察所求极限的类型如下例， 解：lim(sinx?xcosx)(sinx?xcosx)sinx?xcosxsinx?xcosx=lim?limx?0x?0x?0x4xx3 lim1?e例11：求x?0?xx 解：

lim1?ex?0?xxt1???1limlimtt?1?e??et?0=t?0 洛必达法则通常适用于以下类型：

0??

型：

limx(?arctanx)x???2例12求.

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1??arctanx211?x2?lim?lim?lim?1x???x???x???111解原式. ?122xxx???型：

例13求x??2lim?secx?tanx?.

1sinx1?sinxQsecx?tanx???cosxcosxcosx， 解

1?sinx?cosx?lim?0?cosx??sinxx?故原式x?2. 2?lim00型： lim?xx例14求x?0. 解原式1??lime?x?0lnxx?lime?x?0xlnx?ex?0?limexlnx?1. 型： x?e?lim?1??例15求x???x?. ??lim?1?解原式x???e??x?xee?ee. ?0型： 1tanxlim()x?0?x例16求. 解原式而

x?0??lime?x?01ln()tanxx?lime?x?0?tanxlnx?ex?0?lime?tanxlnx，

，因此：原式=1.

lim(?tanxlnx)????lim(?xlnx)?0tanx~x?x?07.用泰勒展式来求极限

用此法必须熟记基本初等函数的展开式,它将原来函数求极限的问题转化为求多项式或有理分

式的极限问题。对于和或差中的项不能用其等价无穷小代替的情形,有时可用项的泰勒展开式来代替该项,使运算十分简便。 精心整理

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例17：limcosx?ex?0x4?x22

解：因为 所以

例18：lim[x?x2ln(1?x???解：因为当x???时，从而

1?0所以 x1)]x 于是

注意：如果该题利用其他方法就不容易做了。 8.利用定积分求极限 由于定积分是一个有特殊结构和式的极限，这样又可利用定积分的值求出某一和数的极限.若要利用定积分求极限，其关键在于将和数化成某一特殊结构的和式。凡每一项可提1/n,而余下的项可用通式写成n项之和的形式的表达式,一般可用定积分的定义去求。 利用定积分可求如下二种形式的极限: 12nf()?f()?...?f()nnn型 limx??n定理8.1：设f?x?在[0，1]上可积，则有 12n??...?nn例19：求极限limnx??n 解：令f?x??x，f?x?在[0,1]上可积。 12nlimnf()?f()?...?f()型 x??nnn定理8.2：若f(x)在[0,1]上可积，则 n例20：求limnx??n!n

解：limx??n!12n=limn**...*x??nnnn 令f?x??x,则有：

例21：求精心整理

lim(n??111???)n?1n?22n

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解：把此极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算计算定积分，为此作如下变形：

f(x)?1?0,1?1?x在区间上的一个积分和。（这里所取的是等分

不难看出，其中的和式是函数发

?xi?分割，

i?i?1i?1,,?i???n?nn?n?（i?1.2.??????n.），所以

当然，也可把J看作

f(x)?1?1,2?x在上的定积分，同样有

9.利用无穷小的性质求极限i 我们知道在某一过程中为无穷大量的倒数是无穷小量;有界函数与无穷小量的乘积,仍是无穷小量。利用这两个定理可以求出某些函数的极限。 4x?7例22：lim2x?1x?3x?2 解：当x?1时分母的极限为0，而分子的极限不为0，可先求出所给函数的倒数是无穷大量：

4x?71?3?2==0x?1x2?3x?24?7 4x?7lim利用无穷小量的倒数是无穷大量故x?12=? x?3x?21x2sinx例23：极限limx?0sinx 1x2sinx解：limx?0sinx x?1； 因为limx?0sinxlim当x?0时，x为无穷小量，sin故limx?sinx?01为有界量x， 1?0； x所以原式=0。

1x例24：求极限limx??1?x3 xsin解：因为sin故

11?1所以sin是有界函数

xxx1?x3在x??时是无穷小量。

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