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数学分析中求极限的方法总结

1利用极限的四则运算法则和简单技巧

极限的四则运算法则叙述如下： 定理1.1：如果limf（x）=?,limg（x）=? x?x0x?x0（1）lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)???? x?x0x?x0x?x0（2）lim?f（x）?g（x）?=limf（x)?limg(x)???? x?x0x?x0x?x0limf(x)?f(x)x?x（3）若B≠0则：lim?0? x?x0g(x)limg(x)?x?x0（4）limc?f(x)?c?limf(x)?c? x?x0x?x0（5）lim?f(x)?x?x0n??limf(x)???n（n为自然数） ???x?x0?n上述性质对于x??,x???,x???也同样成立i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。

x2?5例1.求lim的极限 x?2x?3解：由定理中的第三式可以知道例2.求limx?3 x?1?2的极限x?3 解：分子分母同时乘以x?1?2 式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可 111x???LL?xn 例3.已知n1?22?3?n?1??n，求limn??解：观察

11111111=?=1?=? 1?222?323?n?1??n?n-1?n因此得到xn?111

??LL?1?22?3?n?1??n精心整理

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?1?limx?lim所以n??nn???1???1?n?

2利用导数的定义求极限

导数的定义：函数f(x)在x0附近有定义，???，则 如果 存在，

则此极限值就称函数f(x)在点x0的导数记为f'?x0?。 即

在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。然后把所求极限都表示成f(x)在定点x0的导数。

?x?2??ctg2x的极限例4.求limxx?2 11?tg2x???limtg2x?tg2???xx2x???2x?lim2x?x?x?22 解：lim?x?2??ctg2x?xx?23利用两个重要极限公式求极限 两个极限公式： （1）limsinx?1， x?0x?1?（2）lim?1???e x???x?x但我们经常使用的是它们的变形： （1）limsin??x??1,???x??0?， ??x???x??1?lim1??（2）???x?????例5：lim(x?0?e,???x????求极限。

1?2x)(1?x)1x

1x解：为了利用极限lim(1?x)?e故把原式括号内式子拆成两项，使得第一项为1，第二项和括号外

x?0的指数互为倒数进行配平。 精心整理

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1?2x)lim(x?0(1?x)1x?3xx=lim(1?) x?01?x1?x?31?3x?3x1?x)]?e?3=lim[(1?x?01?x

1?cosxx?0x2

解：将分母变形后再化成“0/0”型所以

例6：lim2sin2x2 xsin212?1=limx?02x2 ()22x?0=limx2(1?2x)lim例7:求

x?01x的极限 11??22x2x(1?2x)?(1?2x)???elim解：原式=x?0? ?利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。 4利用函数的连续性 因为一切初等函数在其定义区间内都是连续的,所以如果f(x)是初等函数,且x0是f(x)的定义区limf(x)?f(x0)间内的点,则x?x0。 例8：limarcsinx?12x?16 解:因为复合函数arcsin是初等函数,而x?1是其定义区间内的点,所以极限值就等于该点处的函数值.因此

lnsinx例8：求lim?x?2

解：复合函数lnsinx在x??2处是连续的，所以在这点的极限值就等于该点处的函数值

lnsinx?lnsin即有lim?x?2?2

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=limsin=0

5利用两个准则求极限。

limx?limz?a,则有limyn?ax??（1）函数极限的迫敛性：若一正整数N,当n>N时，有xn?yn?zn且x??nx??n 。

?2?ln1

利用夹逼准则求极限关键在于从xn的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列?yn?和?zn?，使得yn?xn?zn。 例9：求xn的极限 解：因为xn单调递减，所以存在最大项和最小项 则nn2?n?xn?nn?n2nn2?1 ?limnn?12又因为limx??x???1 （2）单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。 例12：设x1?10,xn?1?6?xn?n?1,2L,n?。试证数列?xn?的极限存在,并求此极限。 解:由x1?10及x2?4知x1?x2。 设对某个正整数k有xk?xk?1，则有xk?1?6?xk?6?xk?1?xk?2从而由数学归纳法可知,对一切自然数n,都有xn?xn?1， 即数列{xn}单调下降,由已知易见xn?0(n?1,2...)即有下界, 根据“单调有界的数列必有极限”这一定理可知存在。 令limxn?A对xn?1?6?xn两边取极限，

n??2有??6??所以有????6?0解得A=3,或???2。

因为xn?0xn?3(n?1,2...)，所以??0，舍去???2,故limn??

6利用洛必达法则求未定式的极限

定义6.1：若当x?a（或x??）时，函数f?x?和F?x?都趋于零(或无穷大)，则极限

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